일은 운동에너지의 변화와 같다

상자를 일정한 힘 F(뉴턴)로 거리 d(미터)만큼 밀면 한 일은 W = F·d, 곧 힘 곱하기 거리다. 아래 그래프의 가로축은 이동 거리, 세로축은 힘이고, 일은 주황 힘 선 아래 금색으로 칠한 직사각형의 넓이다. 슬라이더로 d 값을 늘리면 그 넓이가 거리에 비례해 넓어지고 아래 줄의 일도 같이 커져요. 단위는 N·m, 이것을 줄(J)이라고 부른다. 일은 힘 가운데 움직이는 방향의 성분만 세므로, 힘이 운동 방향과 직각이면(원운동의 구심력처럼) 일은 0이에요. 무거운 물건을 들고 가만히 서 있을 때도 움직인 거리가 없으니 위로 받치는 힘은 일을 하지 않는다. 일은 힘이 거리를 따라 실제로 밀어낸 양이다.

한 일은 어디로 갈까? 마찰 없는 바닥에서는 알짜힘이 한 일 W(줄)가 고스란히 운동에너지로 들어간다. 그림의 상자는 처음부터 얼마간 운동에너지를 지니고 있고, 슬라이더로 해 준 일을 늘리면 파란 처음 몫 옆에 붙은 금색 W 칸만큼 운동에너지 막대가 자라며 파란 속도 화살표도 길어져요. W 값을 키울수록 운동에너지는 딱 그만큼 늘어나고, 식으로 쓰면 W = ΔKE = KE_나중 − KE_처음, 이것이 일-에너지 정리다. 이 정리가 쓸모 있는 까닭은 도중에 힘이 어떻게 변했는지, 시간이 얼마나 걸렸는지 몰라도 처음과 끝의 운동에너지만으로 그 사이 알짜힘이 한 일을 알 수 있기 때문이다. 브레이크처럼 운동 반대쪽으로 음의 일을 하면 운동에너지가 줄어 느려져요.

운동에너지가 정확히 무엇인지 본다. 운동에너지는 질량 m, 속력 v, 두 양으로 정해지고 KE = ½mv²로 쓴다. 속도 v 슬라이더를 끌면 금색 막대가 속도의 제곱으로 커져서, 속도를 두 배로 하면 운동에너지는 네 배가 돼요. 이 식은 앞에서 본 v² = v₀² + 2a·Δx와 짝을 이루는데, 그 양변에 ½m을 곱하면 바로 일-에너지 정리가 나온다. 속도가 제곱으로 들어간다는 사실은 실생활에서 무섭게 작용한다. 자동차가 두 배로 빠르면 운동에너지는 네 배이니 멈추는 데 필요한 일도, 제동 거리도 네 배가 되고, 충돌 피해가 속도에 그토록 민감한 이유도 여기에 있다.

힘이 늘 일정하지는 않아도 일을 구하는 방법은 같다. F-x 그래프 아래의 넓이다. 버튼으로 힘의 모양을 바꾸면, 일정한 힘일 때는 넓이가 직사각형이라 W = F·d, 앞에서 본 그대로다. 용수철을 당기는 힘처럼 거리에 비례해 커지는 힘(F = kx)이면 넓이가 삼각형이라 W = ½kx²이 되고, 점점 줄어드는 힘이면 또 다른 모양이 나와요. 모양이 어떻든 일은 곡선 아래 금색 넓이를 그러모은 것, 곧 힘을 거리에 대해 적분한 값이다. 앞 강에서 속도를 시간에 대해 적분해 거리를 얻은 것과 같은 적분을 시간 대신 거리에 대해 할 뿐이라, 곱셈 한 번으로는 안 풀리는 변하는 힘도 넓이로 보면 언제나 풀린다.

마지막은 일률이다. 같은 일을 해도 빨리 끝내는 쪽이 더 힘이 세고, 일률은 단위 시간에 한 일 P = Wt예요. 일정한 힘으로 속도 v, 그 빠르기로 움직이고 있다면 일률은 깔끔하게 P = F·v, 곧 힘과 속도의 곱으로 쓸 수 있다. 속도 v 슬라이더를 끌면 힘은 그대로인데도 빠를수록 금색 일률 막대가 길어진다. 단위는 와트(W)이고, 1와트는 1초에 1줄의 일을 하는 빠르기다. 엘리베이터가 같은 무게를 같은 높이로 올려도 빨리 올리는 모터가 더 큰 일률을 내야 하고, 자동차가 같은 힘을 더 빠른 속도에서 내려면 더 센 엔진이 필요해요. 일이 에너지의 총량이라면 일률은 그것을 쏟아 내는 속도다. 다음 강에서는 에너지를 위치에너지까지 넓혀, 보존력만 있을 때 운동에너지와 위치에너지의 합이 일정하게 유지되는 에너지 보존으로 간다.