일은 운동에너지의 변화와 같다

일정한 힘 F 로 상자를 거리 d 만큼 밀어 보세요. 한 일은 W = F·d, 힘 곱하기 거리예요. 아래 그래프에서 가로는 이동 거리, 세로는 힘이고, 일은 그 아래 색칠된 직사각형의 넓이예요. d 를 끌면 넓이가 거리에 비례해 늘어나죠. 단위는 N·m, 이걸 줄(J)이라 불러요. 한 가지 주의할 점은, 일은 힘 중에서 움직이는 방향 성분만 친다는 거예요. 힘이 운동 방향과 직각이면(예: 원운동의 구심력) 일은 0이에요. 물건을 들고 가만히 서 있을 때도 위로 받치는 힘은 일을 안 해요. 움직인 거리가 없으니까요. 일은 힘이 거리를 따라 실제로 밀어낸 양이에요.

한 일은 어디로 갈까요? 마찰 없는 바닥이라면 알짜힘이 한 일은 고스란히 운동에너지로 들어가요. 처음에 어느 정도 운동에너지를 가진 상자에 일 W 를 더 해 주면 운동에너지가 딱 그만큼 늘어나요. 슬라이더로 해 준 일 W 를 키워 보세요. 운동에너지 막대가 W 만큼 자라고, 그에 따라 속도도 빨라져요. 식으로는 W = ΔKE = KE_나중 − KE_처음. 이게 일-에너지 정리예요. 좋은 점은 도중에 힘이 어떻게 변했는지, 시간이 얼마나 걸렸는지 몰라도 된다는 거예요. 시작과 끝의 운동에너지만 보면 그 사이 알짜힘이 한 일을 바로 알 수 있어요. 음의 일(브레이크처럼 운동 반대 방향)을 하면 운동에너지가 줄어 느려지고요.

운동에너지가 정확히 무엇인지 봐요. 질량 m 인 물체가 속도 v 로 움직일 때 가진 운동에너지는 KE = ½mv² 예요. v 슬라이더를 끌어 보면 운동에너지가 속도의 제곱으로 커져요. 속도를 두 배로 하면 운동에너지는 네 배예요. 이건 앞에서 본 v² = v₀² + 2a·Δx 와 짝을 이뤄요. 그 양변에 ½m 을 곱하면 바로 일-에너지 정리가 나오거든요. 속도가 제곱으로 들어간다는 게 실생활에서 무섭게 작용해요. 자동차 속도가 두 배면 운동에너지는 네 배라, 멈추는 데 필요한 일도 네 배, 제동거리도 네 배예요. 충돌 피해가 속도에 민감한 이유가 여기 있어요.

힘이 늘 일정하진 않아요. 그래도 일은 언제나 같은 방법으로 구해요. F-x 그래프 아래의 넓이. 버튼으로 힘의 모양을 바꿔 보세요. 일정한 힘이면 넓이가 직사각형이라 W = F·d 예요. 용수철을 당기는 힘처럼 거리에 비례해 커지는 힘이면(F = kx) 넓이가 삼각형이라 W = ½kx² 이 되고요. 점점 줄어드는 힘이면 또 다른 모양이죠. 모양이 어떻든 일은 곡선 아래 넓이를 그러모은 것, 즉 힘을 거리에 대해 적분한 값이에요. 이건 앞 강에서 속도를 시간에 대해 적분해 거리를 얻은 것과 똑같은 적분이에요. 시간 대신 거리에 대해 쌓을 뿐이죠. 곱셈이 안 통하는 변하는 힘도, 넓이로 보면 언제나 풀려요.

마지막으로 일률이에요. 같은 일을 해도 빨리 끝내면 더 강력한 거죠. 일률은 단위 시간에 한 일, P = Wt 예요. 그리고 일정한 힘으로 속도 v 로 움직이고 있다면 일률은 깔끔하게 P = F·v 로 쓸 수 있어요. v 슬라이더를 끌어 보면 같은 힘이라도 빠를수록 일률이 커져요. 단위는 와트(W), 1 와트는 1초에 1줄을 하는 거예요. 엘리베이터가 같은 무게를 같은 높이로 올려도 빨리 올리는 모터가 더 큰 일률을 내야 하고, 자동차가 같은 힘을 더 빠르게 내려면 더 센 엔진이 필요해요. 일이 에너지의 총량이라면, 일률은 그걸 쏟아내는 속도예요. 다음 강에서는 이 에너지를 위치에너지까지 넓혀, 보존력만 있으면 운동에너지와 위치에너지의 합이 일정하게 유지되는 에너지 보존으로 가요.