토크가 각가속도를 만든다, ΣM = Iα
직선운동에서 힘이 가속도를 만들었듯, 회전에서는 토크가 각가속도를 만든다. 같은 힘이라도 문 손잡이처럼 축에서 먼 곳을 밀어야 문이 잘 열리는 것은 토크가 힘의 크기와 함께 축까지의 거리에 달려 있기 때문이에요. 그리고 같은 토크를 받아도 잘 도는 물체와 굼뜬 물체가 있는데, 그 차이를 재는 것이 관성 모멘트 I, 곧 질량이 축에서 얼마나 멀리 퍼져 있는지를 나타내는 회전의 질량이다. 이 강에서는 토크와 관성 모멘트를 차례로 세우고, 둘을 이어 회전의 뉴턴 법칙을 만든다. 모양에 따라, 축의 위치에 따라 관성 모멘트가 어떻게 달라지는지도 함께 본다.
회전을 일으키는 것은 힘의 크기만이 아니라 힘을 어디에 주느냐다. 토크 M = F × d, 곧 힘에 축까지의 지렛대 팔 d, 이 길이를 곱한 값이라서 같은 힘이라도 축에서 멀리 줄수록 더 크게 돌린다. 슬라이더로 힘을 주는 자리까지의 거리 r, 그 값을 늘리면 점선으로 표시한 지렛대 팔이 길어지고, 아래 줄의 토크가 거리에 비례해 커져요. 주황 힘 화살표의 크기는 그대로인데도 그렇다. 렌치를 길게 잡으면 꽉 조인 볼트가 풀리는 것도, 시소에서 가벼운 아이가 끝에 앉으면 무거운 어른과 균형을 이루는 것도 같은 원리다.
회전에서 질량 노릇을 하는 것은 관성 모멘트 I = Σ m r²이다. 같은 질량이라도 축에서 멀리 있을수록 반지름 r, 그 제곱으로 관성 모멘트 I, 곧 회전시키기 어려운 정도가 커진다. 슬라이더로 r 값을 키워 금색 두 질량을 축에서 멀리 보내면, 질량은 그대로인데 파란 막대가 거리의 제곱으로 빠르게 자라요. 거리를 두 배로 하면 관성 모멘트는 네 배가 된다. 피겨 선수가 팔을 몸에 모으면 회전이 빨라지고 팔을 펴면 느려지는 까닭이 여기에 있다.
이제 둘을 합치면 회전의 뉴턴 제2법칙 ΣM = Iα가 나온다. 알짜 토크가 각가속도를 만들고 그 비례 상수가 관성 모멘트 I, 그래서 직선의 ΣF = ma, 이 식과 글자만 다른 같은 꼴이에요. 슬라이더로 토크 M, 그 크기를 키우면 각가속도 α = MI가 비례해서 따라 커지고, 금색 막대가 그만큼 길어진다. 관성 모멘트는 그대로 두었으니 토크를 두 배로 하면 각가속도도 두 배다. 직선에서 질량이 가속을 거스르듯, 회전에서는 관성 모멘트가 각가속을 거스른다.
같은 질량, 같은 반지름이라도 모양에 따라 I = βMR²의 β가 달라져서, 테(1), 원판(½), 구(⅖)의 순서로 작아진다. 질량이 바깥 테두리에 몰린 테가 가장 크고, 가운데까지 고르게 찬 구가 가장 작다. 이 물체들을 비탈에서 굴리면 β가 작을수록 회전에 덜 붙잡혀 빨리 내려가는데, 구르는 가속도는 β에 따라 정해진다(가속 ∝ 1(1+β)). 버튼으로 모양을 바꾸면 초록 막대가 그 모양의 구르는 가속도 비율을 나타내서, 구가 가장 길고 테가 가장 짧아요. 그래서 같은 비탈에서 공과 굴렁쇠를 함께 놓으면 언제나 공이 먼저 도착한다.
같은 물체라도 회전축을 옮기면 관성 모멘트 I, 그 값이 달라진다. 평행축 정리 I = Icm + M d²가 그 값을 주는데, 질량 중심을 지나는 축에서 거리 d, 그만큼 떨어진 축으로 옮기면 M d²가 더해지는 구조예요. 그림의 초록 점선이 질량 중심을 지나는 축, 금색 선이 옮긴 회전축이다. 슬라이더로 d 값을 늘리면 파란 막대의 I, 곧 관성 모멘트가 거리의 제곱으로 자란다. 질량 중심을 지나는 축이 언제나 가장 작은 값을 주기 때문에, 문을 경첩에서 돌릴 때가 가운데에서 돌릴 때보다 더 무겁게 느껴진다.