동역학
토크가 각가속도를 만든다, ΣM = Iα
토크 M=F·d, 관성모멘트 I=Σmr², 회전 뉴턴 ΣM=Iα, 모양별 βMR²(테1·원판½·구⅖), 평행축 I=Icm+Md²
직선운동에서 힘이 가속도를 만들었듯, 회전에서는 토크가 각가속도를 만들어요. 그 비례상수가 관성모멘트 I — 질량이 축에서 얼마나 퍼져 있는지를 재는, 회전판 위의 '질량'입니다.
회전을 일으키는 건 힘만이 아니라 '어디에' 주느냐예요. 토크 M = F × d — 축에서 먼 지렛대 팔 d 가 길수록 같은 힘이 더 크게 돌립니다. r 을 끌어 확인해 보세요.
회전의 '질량'은 관성모멘트 I = Σ m r² 예요. 같은 질량이라도 축에서 멀수록 r 의 제곱으로 I 가 커져 — 그래서 피겨 선수가 팔을 모으면 빨리 돕니다. r 을 끌어 보세요.
이제 둘을 합치면 회전의 뉴턴 제2법칙이에요 — ΣM = Iα. 알짜 토크가 각가속도를 만들고, 그 비례상수가 I 죠. 직선의 ΣF = ma 와 글자만 바뀐 같은 꼴이에요. M 을 끌면 α = MI 가 따라옵니다.
같은 질량·반지름이라도 모양에 따라 I = βMR² 의 β 가 달라요 — 테(1), 원판(½), 구(⅖). 비탈을 굴리면 β 작은 구가 가장 빨리 내려가죠(가속 ∝ 1(1+β)). 모양을 골라 비교해 보세요.
같은 물체라도 회전축을 옮기면 I 가 달라져요. 평행축 정리 I = Icm + M d² — 질량중심 축에서 거리 d 만큼 멀어지면 M d² 가 더해집니다. d 를 끌면 I 가 d² 로 자라요.
빠른 적용정리하면, 회전 운동역학의 중심은 ΣM = Iα 한 줄이에요. 토크 M = F × d 는 힘에 지렛대 팔을 곱한 것이고, 관성모멘트 I = Σ m r² 는 질량이 축에서 퍼진 정도를 재는 회전의 질량이죠. 그래서 같은 토크라도 I 가 크면 α 가 작아요. I 는 모양에 따라 βMR²(테 1·원판 ½·구 ⅖)로 달라지고, 축을 질량중심에서 옮기면 평행축 정리 I = Icm + M d² 로 늘어납니다. 강체가 굴러갈 땐 ΣF = macm 와 ΣM = Icm α 를 함께 세우고 굴림 조건 a = rα 로 묶어 풀어요. 직선의 (F, m, a)가 회전에서 (M, I, α)로 한 글자씩 옮겨간 셈이죠. 다음 D2 강에서는 이 회전을 에너지로 봅니다 — 회전운동에너지 ½Iω², 굴림에서 병진 ½mv² 와 회전 ½Iω² 의 합, 그리고 일-에너지 정리로 토크가 한 일을 한눈에 정리해요.
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