동역학
토크가 각가속도를 만든다, ΣM = Iα
토크 M=F·d, 관성모멘트 I=Σmr², 회전 뉴턴 ΣM=Iα, 모양별 βMR²(테1·원판½·구⅖), 평행축 I=Icm+Md²
직선운동에서 힘이 가속도를 만들었듯 회전에서는 토크가 각가속도를 만든다. 그 비례상수인 관성모멘트 I 는 질량이 축에서 얼마나 퍼져 있는지를 재는, 회전판 위의 '질량'이에요.
회전을 일으키는 것은 힘의 크기만이 아니라 '어디에' 주느냐다. 토크 M = F × d 에서 축까지의 지렛대 팔 d 가 길수록 같은 힘이 더 크게 돌리는데, r 을 끌면 그 차이가 바로 나타나요.
회전의 '질량'은 관성모멘트 I = Σ m r² 이다. 같은 질량이라도 축에서 멀수록 r 의 제곱으로 I 가 커지고, 피겨 선수가 팔을 모으면 빨라지는 이유가 여기 있어요. r 을 끌면 그 제곱의 위력이 드러난다.
이제 둘을 합치면 회전의 뉴턴 제2법칙 ΣM = Iα 가 나온다. 알짜 토크가 각가속도를 만들고 그 비례상수가 I 이니, 직선의 ΣF = ma 와 글자만 바뀐 같은 꼴이에요. M 을 끌면 α = MI 가 그대로 따라온다.
같은 질량·반지름이라도 모양에 따라 I = βMR² 의 β 가 달라지는데, 테(1), 원판(½), 구(⅖) 순으로 작아진다. 비탈을 굴리면 β 가 작은 구가 가장 빨리 내려가고(가속 ∝ 1(1+β)), 모양을 골라 나란히 굴리면 순서가 그대로 보여요.
같은 물체라도 회전축을 옮기면 I 가 달라진다. 평행축 정리 I = Icm + M d² 가 그 값을 주는데, 질량중심 축에서 거리 d 만큼 멀어지면 M d² 가 더해지는 구조예요. d 를 끌면 I 가 d² 로 자란다.
빠른 적용정리하면 회전 운동역학의 중심은 ΣM = Iα 한 줄이다. 토크 M = F × d 는 힘에 지렛대 팔을 곱한 것이고, 관성모멘트 I = Σ m r² 는 질량이 축에서 퍼진 정도를 재는 회전의 질량이에요. 그래서 같은 토크라도 I 가 크면 α 가 작아진다. I 는 모양에 따라 βMR²(테 1·원판 ½·구 ⅖)로 달라지고, 축을 질량중심에서 옮기면 평행축 정리 I = Icm + M d² 로 늘어나요. 강체가 굴러갈 때는 ΣF = macm 와 ΣM = Icm α 를 함께 세운 뒤 굴림 조건 a = rα 로 묶어 푼다. 직선의 (F, m, a)가 회전에서 (M, I, α)로 한 글자씩 옮겨간 셈이에요. 다음 D2 강에서는 이 회전을 에너지로 보는데, 회전운동에너지 ½Iω², 굴림에서 병진 ½mv² 와 회전 ½Iω² 의 합, 그리고 일-에너지 정리로 토크가 한 일을 한 자리에 모은다.
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