회전운동은 각위치·각속도·각가속도로 기술한다
바퀴나 원판 같은 강체가 축을 중심으로 돌면, 그 위의 모든 점은 같은 시간 동안 같은 각 θ만큼 돈다. 그래서 회전은 점 하나하나의 위치보다 각 하나로 기술하는 편이 훨씬 간단해요. 직선운동의 x·v·a 는 회전에서 각위치 θ, 각속도 ω, 각가속도 α로 이름만 바뀐 채 그대로 건너오고, 앞에서 익힌 미분과 적분의 관계도 똑같이 성립한다. 두 세계를 잇는 다리는 반지름 r, 이것 하나로, 각속도에 반지름을 곱하면 그 점이 실제로 움직이는 빠르기인 선속도가 된다(v=rω). 이 강에서는 회전을 기술하는 세 양을 차례로 세우고 그 다리를 건너 본다.
슬라이더로 각 θ를 끌면 원판이 돌아가고, 축에서 떨어진 모든 점이 똑같은 각을 쓸고 지나간다. 안쪽의 파란 점과 바깥쪽의 금색 점이 쓴 각은 같지만, 지나간 호의 길이는 바깥쪽이 더 길어요. 반지름 r 인 점이 지나간 호의 길이는 s = rθ이고, 여기서 θ는 라디안으로 잰다. 라디안은 호의 길이를 반지름으로 나눈 값이라서, 이 정의 덕분에 호의 길이 공식에 다른 상수가 붙지 않는다. 아래 줄의 호 길이는 바깥 금색 점의 것이에요.
각속도 ω는 각이 얼마나 빨리 변하는지를 나타내고, ω = dθ/dt 로 쓴다. 그래프는 가로축이 시간, 세로축이 각인 θ-t 그래프이고, 각속도가 일정하면 초록 직선이 된다. 점선으로 그린 계단의 높이를 폭으로 나눈 값, 곧 직선의 기울기가 ω예요. 슬라이더로 ω 값을 키우면 직선이 가팔라지고, 같은 시간 동안 더 큰 각을 돈다. 직선운동에서 속도가 위치-시간 그래프의 기울기였던 것과 정확히 같은 구조다.
각가속도 α는 각속도가 얼마나 빨리 변하는지를 나타내고, α = dω/dt 로 정의된다. 이번 그래프는 세로축이 각속도인 ω-t 그래프이고, 파란 직선의 기울기가 α다. 슬라이더로 α를 양수로 두면 직선이 오른쪽 위로 올라가 회전이 점점 빨라지고, α>0 이면 언제나 그렇다. 반대로 α<0 이면 직선이 내려가 회전이 느려지다가, 가로축을 넘어서는 순간 각속도의 부호가 바뀌어 반대 방향으로 돌기 시작해요. 처음 각속도는 같게 두었으니 직선의 출발점은 그대로이고 기울기만 바뀐다.
원판 위의 점은 모두 같은 각속도로 돌지만, 바깥쪽 점이 더 빠르다. 반지름 r 인 점의 접선속도가 v = rω 이기 때문이다. 가장자리의 주황 점은 r=2 의 자리, 안쪽의 파란 점은 r=1 의 자리다. 슬라이더로 ω를 끌면 두 점의 접선속도 화살표가 함께 길어지는데, 바깥 점의 화살표가 늘 두 배 길어요. 놀이기구의 바깥 자리가 더 아찔하게 느껴지는 것도, 레코드판 가장자리가 중심보다 빠르게 지나가는 것도 같은 이유다.
각가속도가 일정하면 직선운동의 등가속도 공식이 그대로 회전으로 건너온다. 슬라이더로 α를 끌면 ω-t 그래프의 파란 직선이 기울고, 그 아래 칠해진 사다리꼴의 넓이가 그동안 쓸고 지나간 각 Δθ가 돼요. 직선운동에서 속도 그래프 아래 넓이가 변위였던 것과 같다. 공식도 글자만 바꾸면 그대로여서 ω=ω₀+αt, Δθ=ω₀t+½αt², ω²=ω₀²+2αΔθ이다. 아래 줄에서 α가 커질수록 나중 각속도와 쓸린 각이 함께 커지는 것을 확인할 수 있다.