동역학
회전에도 운동에너지가 있다, ½Iω²
회전운동E ½Iω², 토크의 일 W=Mθ(P=Mω), 굴림 KE=½mv²(1+β), 에너지보존 mgh=½mv²(1+β), 모양별 도착속력
도는 물체도 에너지를 품는데, 그것이 회전운동에너지 ½Iω² 다. 토크가 한 일 W = Mθ 가 이 에너지를 바꾸고, 굴러가는 물체는 병진 ½mv² 와 회전 ½Iω² 를 동시에 가져요.
회전에도 운동에너지가 있고, 그 값은 KE = ½ I ω² 다. 직선의 ½mv² 에서 질량 m 이 관성모멘트 I 로, 속도 v 가 각속도 ω 로 바뀐 같은 꼴이에요. ω 를 키우면 KE 가 ω 의 제곱으로 불어난다.
직선에서 일이 W = F d 였듯 회전에서는 토크가 각 θ 만큼 돌리며 한 일이 W = M θ 가 된다. θ 를 끌면 일이 비례해 쌓이고, 일률은 P = M ω 로 나와요.
굴러가는 물체는 두 가지 운동에너지를 함께 가지는데, 중심의 병진 ½mv² 와 자전의 회전 ½Iω² 다. 굴림에서는 ω = vr 라서 회전분이 ½βmv² 가 되고, 총 KE = ½mv²(1+β) 로 정리돼요.
비탈을 굴러 내려오면 위치에너지 mgh 가 굴림 운동에너지 ½mv²(1+β) 로 전부 바뀐다. 그런데 그중 일부가 회전 쪽으로 가는 탓에, 같은 높이라도 그냥 미끄러져 내려올 때보다 도착 속력이 느려요. h 를 끌면 그 차이가 벌어지는 게 보인다.
그래서 같은 높이에서 출발해도 모양마다 도착 속력이 갈라진다. v = √(2gh(1+β)) 이니, β 가 작아 회전에 에너지를 덜 빼앗기는 구가 가장 빠르고 테가 가장 느려요. 모양을 골라 나란히 굴리면 그 순서가 그대로 드러난다.
빠른 적용정리하면 회전도 에너지로 풀 수 있다. 회전운동에너지는 KE = ½ I ω², 토크가 한 일은 W = M θ, 일률은 P = M ω 예요. 굴러가는 물체는 병진 ½mv² 와 회전 ½Iω² 를 함께 가져 총 KE = ½mv²(1+β) 이고, 비탈에서는 mgh = ½mv²(1+β) 로 에너지가 보존돼요. 도착 속력 v = √(2gh(1+β)) 가 나오는데, β 작은 구가 가장 빠른 이유가 여기 있다. 여기까지가 동역학의 큰 그림이에요. 직선운동(위치·속도·가속도, ΣF=ma, 일·에너지·운동량)을 배우고 그 모든 개념을 회전으로 한 글자씩 옮겨 온 셈이다. x→θ, v→ω, a→α, m→I, F→M, p→L, ½mv²→½Iω². 입자에서 강체로, 운동학에서 운동역학으로, 힘에서 에너지로 건너오는 동안 같은 법칙이 모습만 바꿔 되풀이된다는 것이 이 과목의 핵심이에요.
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