회전에도 운동에너지가 있다, ½Iω²
돌고 있는 물체도 에너지를 품는다. 팽이나 플라이휠은 제자리에서 돌기만 해도 멈추게 하려면 일이 드는데, 그 에너지가 회전 운동에너지 ½Iω²이에요. 이 에너지를 바꾸는 것은 토크가 한 일 W = Mθ, 곧 토크에 돌린 각을 곱한 값이다. 굴러가는 물체는 중심이 나아가는 병진 운동에너지와 제자리에서 도는 회전 운동에너지를 함께 지니고, 그래서 같은 높이에서 굴러 내려와도 모양에 따라 도착 속력이 달라진다. 이 강은 회전을 에너지로 다시 보며 동역학 전체를 하나로 묶는다.
회전에도 운동에너지가 있고, 그 값은 KE = ½ I ω²이다. 직선의 ½mv²에서 질량 m, 그 자리에 관성 모멘트 I, 속도 v, 그 자리에 각속도 ω가 들어간 같은 꼴이에요. 슬라이더로 ω를 키우면 원판의 회전이 빨라지고, 금색 막대의 회전 KE, 그 값이 ω의 제곱으로 불어난다. 각속도를 두 배로 하면 회전 운동에너지는 네 배가 된다. 관성 모멘트가 큰 무거운 플라이휠을 빠르게 돌려 두면 많은 에너지를 저장했다가 필요할 때 꺼내 쓸 수 있는 것도 이 때문이다.
직선에서 일이 W = F d 였듯, 회전에서는 토크가 각 θ만큼 돌리며 한 일이 W = M θ가 된다. 슬라이더로 돌린 각을 늘리면 금색 호가 넓어지고, 일정한 토크 아래에서 초록 막대의 일이 각에 비례해 쌓여요. 토크는 회전의 힘, 각은 회전의 거리 노릇을 하니 식의 모양이 그대로다. 이 일을 걸린 시간으로 나누면 일률이 되는데, 회전에서는 P = M ω, 곧 토크에 각속도를 곱한 값이다. 자동차 엔진의 출력을 토크와 회전수로 함께 말하는 것도 이 관계 때문이다.
굴러가는 물체는 두 가지 운동에너지를 함께 가지는데, 중심이 나아가는 병진 ½mv²와 제자리에서 도는 회전 ½Iω²이다. 미끄러지지 않고 구르면 ω = vr라서 회전 몫이 ½βmv²가 되고, 둘을 더한 총 KE = ½mv²(1+β)로 정리돼요. 그림의 원판은 β가 ½이고, 슬라이더로 속도를 바꾸면 파란 병진 칸과 주황 회전 칸이 함께 늘어나되 그 비율은 늘 같다. 그래서 같은 속도로 구르는 물체는 미끄러지기만 하는 물체보다 운동에너지가 더 크다.
비탈을 굴러 내려오면 꼭대기의 위치에너지 mgh, 그것이 바닥에서 굴림 운동에너지 ½mv²(1+β)로 전부 바뀐다. 위의 초록 막대가 출발할 때의 위치에너지, 아래 막대가 도착할 때의 운동에너지이고, 두 막대의 길이는 언제나 같아요. 슬라이더로 높이 h 값을 바꾸면 두 막대가 함께 늘고 줄며, 아래 막대 안에서 주황 회전 몫이 늘 같은 비율을 차지한다. 에너지 일부가 회전으로 가는 탓에, 같은 높이라도 마찰 없이 미끄러져 내려올 때보다 도착 속력이 느리다.
그래서 같은 높이에서 출발해도 모양마다 도착 속력이 갈라진다. 도착 속력은 v = √(2gh(1+β))이니, β가 작아 회전에 에너지를 덜 빼앗기는 구가 가장 빠르고 테가 가장 느려요. 버튼으로 모양을 바꾸면 초록 막대가 그 모양의 도착 속력을 나타내고, 막대 위의 세 눈금 가운데 고른 모양의 눈금이 진하게 표시된다. 구의 눈금이 가장 오른쪽, 테의 눈금이 가장 왼쪽에 있어서 순서가 한눈에 보인다. 질량과 반지름은 속력에 영향을 주지 않고 모양, 곧 질량이 어떻게 퍼져 있는지만이 순서를 정한다.