동역학
회전에도 운동에너지가 있다, ½Iω²
회전운동E ½Iω², 토크의 일 W=Mθ(P=Mω), 굴림 KE=½mv²(1+β), 에너지보존 mgh=½mv²(1+β), 모양별 도착속력
도는 물체도 에너지를 품어요 — 회전운동에너지 ½Iω². 토크가 한 일은 W = Mθ 로 이 에너지를 바꾸고, 굴러가는 물체는 병진 ½mv² 와 회전 ½Iω² 를 동시에 갖습니다.
회전에도 운동에너지가 있어요 — KE = ½ I ω². 직선의 ½mv² 에서 질량 m 이 관성모멘트 I 로, 속도 v 가 각속도 ω 로 바뀐 같은 꼴이죠. ω 를 키우면 KE 가 ω 의 제곱으로 커집니다.
직선에서 일이 W = F d 였듯, 회전에서는 토크가 각 θ 만큼 돌리며 한 일이 W = M θ 예요. θ 를 끌면 일이 비례해 쌓이고, 일률은 P = M ω 입니다.
굴러가는 물체는 두 가지 운동에너지를 함께 가져요 — 중심의 병진 ½mv² 와 자전의 회전 ½Iω². 굴림에선 ω = vr 라서 회전분이 ½βmv² 가 되고, 총 KE = ½mv²(1+β) 입니다.
비탈을 굴러 내려오면 위치에너지 mgh 가 굴림 운동에너지 ½mv²(1+β) 로 전부 바뀌어요. 그런데 일부가 회전으로 가서, 같은 높이라도 그냥 미끄러질 때보다 도착 속력이 느립니다. h 를 끌어 보세요.
그래서 같은 높이에서 출발해도 모양마다 도착 속력이 달라요 — v = √(2gh(1+β)). β 가 작아 회전에 에너지를 덜 빼앗기는 구가 가장 빠르고, 테가 가장 느립니다. 모양을 골라 비교해 보세요.
빠른 적용정리하면, 회전도 에너지로 풀 수 있어요. 회전운동에너지는 KE = ½ I ω², 토크가 한 일은 W = M θ, 일률은 P = M ω 죠. 굴러가는 물체는 병진 ½mv² 와 회전 ½Iω² 를 함께 가져 총 KE = ½mv²(1+β) 이고, 비탈에서는 mgh = ½mv²(1+β) 로 에너지가 보존돼 도착 속력 v = √(2gh(1+β)) 가 나와요 — β 작은 구가 가장 빠른 이유죠. 여기까지가 동역학의 큰 그림이에요. 직선운동(위치·속도·가속도, ΣF=ma, 일·에너지·운동량)을 배우고, 그 모든 개념을 회전으로 한 글자씩 옮겨 왔습니다 — x→θ, v→ω, a→α, m→I, F→M, p→L, ½mv²→½Iω². 입자에서 강체로, 운동학에서 운동역학으로, 힘에서 에너지로 — 같은 법칙이 모습만 바꿔 되풀이된다는 게 핵심이에요.
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