포물선은 수평 등속과 수직 등가속의 겹침이다
같은 높이에서 공 두 개를 동시에 출발시킨다. 하나는 그냥 놓아 떨어뜨리고 다른 하나는 옆으로 던지는데, 옆으로 날아간 공도 떨어뜨린 공과 매 순간 같은 높이를 지나 같은 순간에 땅에 닿아요. 수평으로 아무리 빨리 던져도 떨어지는 정도는 똑같다는 뜻이다. 비결은 포물선 운동이 서로 간섭하지 않는 두 운동의 겹침이라는 데 있다. 수평으로는 힘이 없으니 등속, 수직으로는 중력만 받으니 등가속이고, 두 방향을 따로 앞 강의 공식으로 푼 다음 같은 시각끼리 합치기만 하면 된다. 휘어 보이는 운동이 사실은 직선 운동 두 개를 겹쳐 놓은 것이에요.
슬라이더로 시간 t(초)를 끌면 두 공이 함께 움직인다. 왼쪽의 파란 공은 가만히 놓아 떨어뜨린 것이고 오른쪽의 금색 공은 같은 높이에서 수평으로 던진 것이며, 흐린 금색 점선이 던진 공이 그려 갈 길이다. 두 공을 잇는 파란 점선은 늘 수평을 유지하는데, 매 순간 두 공의 높이가 정확히 같다는 뜻이에요. 옆으로 던진 공이 아무리 멀리 날아가도 떨어지는 정도는 떨어뜨린 공과 똑같아서, 둘은 같은 순간에 땅에 닿는다. 중력은 수평으로 얼마나 빠른지 상관하지 않고 아래로만 당기므로 수평 운동이 수직 낙하에 끼어들 틈이 없고, 이 독립이 포물선 운동을 푸는 열쇠다.
이제 수평 방향만 떼어서 본다. 공기 저항을 무시하면 수평으로는 미는 힘도 막는 힘도 없어서 가속도가 0이고, 수평 속도는 끝까지 변하지 않는다. 수평 속도 vx 슬라이더를 끌면 같은 시간 간격으로 찍은 금색 자국의 간격이 넓어지거나 좁아지지만, 어느 경우든 간격은 한결같고 파란 속도 화살표도 모두 같은 길이예요. 그래서 수평 위치는 x = vx·t, 시간에 정비례하는 가장 단순한 운동이다. 포물선의 가로 방향은 이렇게 처음부터 끝까지 같은 속도로 흘러간다.
이번에는 수직 방향만 본다. 처음에 위로 던진 속도가 있어도 중력이 계속 아래로 당기므로 수직 운동은 앞 강의 등가속도 운동 그대로이고, 위쪽을 양수로 잡으면 가속도는 늘 −g, 곧 아래를 향한다. 시간 t(초)를 끌면 금색 공이 처음엔 빠르게 오르다 점점 느려져 꼭대기에서 잠깐 멈추고 다시 내려오며, 옆의 주황 화살표가 그때그때 수직 속도의 방향과 크기를 가리킨다. 왼쪽의 짧은 가로 눈금은 같은 시간마다 공이 있던 높이인데, 꼭대기 근처에서 촘촘하고 아래에서 듬성듬성해 올라갈 때와 내려올 때가 거울처럼 대칭이에요. 높이는 y = vy·t - ½g t², 등가속도 공식 그대로다. 꼭대기는 수직 속도가 0이 되는 순간이고 금색 점선 H가 그 최고 높이로, 수평을 잊고 위아래만 보면 공을 똑바로 위로 던진 것과 다르지 않다.
이제 두 운동을 합친다. 매 순간 수평 위치는 x = vx·t, 일정한 걸음으로 오른쪽으로 나아가고, 수직 위치는 y = vy·t - ½g t²을 따라 올라갔다 내려온다. 시간 t(초)를 끌면 금색 공이 흐린 곡선을 따라 날아가는데, 이 곡선이 포물선이다. 바닥의 파란 점은 공의 수평 위치를, 왼쪽 축의 주황 점은 높이를 따로 짚는 그림자이고, 공은 언제나 두 그림자에서 그은 점선이 만나는 자리에 있어요. 휘어 보여도 새로운 것은 하나도 없고, 수평 등속과 수직 등가속을 같은 시계로 동시에 돌린 것뿐이다.
마지막으로 던지는 각도를 바꾼다. 발사 속력은 그대로 두고 각도 θ만 슬라이더로 돌려도 같은 힘으로 던진 공이 얼마나 멀리, 얼마나 높이 가는지가 크게 달라져요. 각도를 세우면 높이 솟지만 멀리 못 가고 눕히면 낮게 깔려 역시 멀리 못 가는데, 사거리가 가장 긴 각도는 딱 가운데인 45도이고 흐린 점선이 그 궤적이다. 30도와 60도처럼 45도에서 같은 만큼 벗어난 두 각도는 사거리가 똑같아서, 하나는 낮고 빠르게, 하나는 높고 느긋하게 같은 자리에 떨어진다. 바닥의 파란 눈금이 사거리, 주황 점이 최고 높이이고, 최고 높이는 각도가 가파를수록 커져 똑바로 위로 던지는 90도에서 가장 높다. 사거리는 R = v0² sin2θg로 정해진다.