포물선은 수평 등속과 수직 등가속의 겹침이다
공 두 개를 같은 높이에서 동시에 출발시켜요. 하나는 그냥 아래로 떨어뜨리고, 하나는 옆으로 던져요. 시간을 끌어 보면 놀라운 일이 보여요. 옆으로 날아간 공도 그냥 떨어진 공과 정확히 같은 높이를 지나며, 같은 순간에 땅에 닿아요. 수평으로 아무리 빨리 던져도 떨어지는 정도는 똑같은 거예요. 비결은 이거예요. 포물선 운동은 사실 따로 노는 두 운동이 겹친 거예요. 수평으로는 힘이 없으니 등속, 수직으로는 중력만 받으니 등가속. 두 방향이 서로 간섭하지 않고 독립이라, 각각 앞에서 배운 공식을 그대로 쓰고 마지막에 합치기만 하면 돼요. 곡선처럼 보이는 복잡한 운동이, 알고 보면 직선 두 개의 조합인 거죠.
시간 t 를 끌어 두 공을 동시에 움직여 보세요. 왼쪽 공은 가만히 떨어뜨린 거고, 오른쪽 공은 같은 높이에서 수평으로 던진 거예요. 점선이 두 공의 높이를 이어 주는데, 매 순간 두 공의 높이가 정확히 같아요. 옆으로 던진 공이 아무리 멀리 날아가도, 떨어지는 정도는 그냥 떨어뜨린 공과 똑같죠. 그래서 둘은 같은 순간에 땅에 닿아요. 수평 운동이 수직 낙하에 전혀 끼어들지 못한다는 뜻이에요. 중력은 수평으로 얼마나 빠른지 신경 쓰지 않고, 오직 아래로만 당기거든요. 이 독립이 포물선 운동을 푸는 열쇠예요.
이제 수평 방향만 떼어서 봐요. 수평으로는 공을 미는 힘도 막는 힘도 없어요(공기 저항은 무시). 힘이 없으면 가속도도 0이니, 수평 속도는 끝까지 변하지 않아요. 등속 운동이죠. vx 슬라이더를 끌어 보면, 일정한 시간 간격으로 찍은 자국이 항상 똑같은 간격으로 벌어져 있어요. 빠르게 던지면 간격이 넓어지고 느리게 던지면 좁아지지만, 어느 경우든 간격은 균일해요. 그래서 수평 위치는 그냥 x = vx·t. 시간에 정비례하는 가장 단순한 운동이에요. 포물선의 가로축은 이렇게 시종일관 같은 속도로 흘러가요.
이번엔 수직 방향만 봐요. 위로 던진 처음 속도가 있지만, 중력이 계속 아래로 당기니 수직은 완전히 앞 강의 등가속도 운동이에요. 가속도는 늘 -g. 시간 t 를 끌어 보면 공이 처음엔 올라가다가 점점 느려지고, 꼭대기에서 잠깐 멈춘 뒤 다시 내려와요. 올라갈 때와 내려올 때가 거울처럼 대칭이죠. 높이는 y = vy·t - ½g t², 정확히 등가속도 공식 그대로예요. 꼭대기는 수직 속도가 0이 되는 순간이고, 거기서 최고 높이에 닿아요. 수평은 신경 쓸 것 없이, 위아래만 보면 그냥 공을 똑바로 위로 던진 것과 똑같아요.
이제 두 운동을 합쳐요. 매 순간 수평 위치는 x = vx·t 로 일정하게 오른쪽으로, 수직 위치는 y = vy·t - ½g t² 로 올라갔다 내려와요. 시간 t 를 끌면서 보면, 가로로는 일정한 걸음으로 나아가고 세로로는 포물선을 그리며, 그 둘이 합쳐진 점이 부드러운 곡선을 따라 날아가요. 이 곡선이 바로 포물선이에요. 아래 회색 눈금은 수평 진행을, 옆 회색 눈금은 수직 높이를 보여 주는데, 공의 위치는 늘 그 두 그림자가 만나는 자리예요. 곡선처럼 보이지만 새로운 건 하나도 없어요. 수평 등속과 수직 등가속, 앞에서 따로 배운 두 운동을 같은 시계로 동시에 돌린 것뿐이에요.
마지막으로 던지는 각도를 바꿔 봐요. 발사 속력은 그대로 두고 각도만 슬라이더로 돌리면, 같은 힘으로 던져도 얼마나 멀리, 얼마나 높이 가는지가 확 달라져요. 각도를 높이면 더 높이 솟지만 멀리 못 가고, 낮추면 낮게 깔리며 역시 멀리 못 가요. 사거리가 가장 길어지는 건 딱 가운데, 45도예요. 그리고 재미있는 대칭이 있어요. 30도와 60도처럼 45도에서 같은 만큼 벗어난 두 각도는 사거리가 똑같아요. 하나는 높고 느긋하게, 하나는 낮고 빠르게 날 뿐이죠. 최고 높이는 각도가 가파를수록 계속 커져서, 똑바로 위로 던지는 90도에서 가장 높아요. 사거리는 R = v0² sin2θg 로 정해져요.