속도는 위치의 기울기, 가속도는 속도의 기울기

먼저 시간 t 를 끌면 입자가 직선을 따라 이동하고 매 순간의 위치 x 가 아래에 표시된다. 처음엔 천천히 출발했다가 가운데서 쭉 나아가고 끝에서 다시 느려지는데, 같은 시간 간격으로 찍어 둔 자국을 보면 그 변화가 한눈에 들어와요. 자국이 촘촘한 구간은 느리게, 듬성듬성한 구간은 빠르게 지난 것이다. 지금은 시간이 정해지면 위치가 정해진다는 것 하나만 붙들면 되고, 이 x(t) 라는 관계가 운동을 통째로 담고 있어요. 다음 장면부터는 이 위치가 얼마나 빨리 변하는지를 캐 들어간다.

이제 위치를 시간에 대한 그래프로 펼치면 가로가 시간 t, 세로가 위치 x 다. 곡선 위의 점을 시간으로 끌면 그 점에 닿는 접선이 같이 움직이는데, 이 접선의 기울기가 바로 속도예요. v = dx/dt, 곧 시간이 아주 조금 흐를 때 위치가 얼마나 변하는가다. 곡선이 가파른 가운데에서는 기울기가 커서 빠르고, 거의 평평한 양 끝에서는 기울기가 0에 가까워 멈춘 셈이에요. 속도는 위치 그 자체가 아니라 위치의 변화율이고, 높이가 아니라 비탈의 가파름이다. 그래서 한참 멀리 가 있어도 그 순간엔 멈춰 있을 수 있고, 출발점 근처에서도 쌩 하고 빠를 수 있어요.

똑같은 일을 한 층 더 올린다. 이번엔 속도를 시간에 대해 그린 그래프인데, 세로축이 속도 v 로 바뀐 것만 빼면 방금과 판박이예요. 점을 시간으로 끌면 접선의 기울기가 이번엔 가속도가 되고, a = dv/dt 곧 속도가 얼마나 빨리 변하는가다. 출발 직후엔 속도가 점점 커지니 기울기가 양수라 가속이고, 속도가 최고에 이른 순간엔 그래프가 봉우리라 기울기가 0, 그 찰나엔 가속도도 0이에요. 그 뒤엔 속도가 줄어드니 기울기가 음수라 감속이다. 핵심은 동작이 똑같다는 것인데, 변화율을 구하는 미분을 위치에 쓰면 속도가, 속도에 쓰면 가속도가 나와요.

세 그래프를 위아래로 쌓으면 관계가 한눈에 들어온다. 위가 위치 x, 가운데가 속도 v, 아래가 가속도 a 이고, 버튼으로 운동을 바꿔 가면 모양이 어떻게 맞물리는지 보여요. 등속이면 위치는 곧은 비탈, 속도는 평평한 수평선, 가속도는 0이다. 등가속이면 위치는 휘어진 포물선, 속도는 곧게 오르는 직선, 가속도는 일정한 수평선이에요. 규칙은 늘 같아서, 위 그래프의 기울기가 바로 아래 그래프의 높이가 된다. 위치가 가파른 곳에서는 속도가 높고 속도가 가파른 곳에서는 가속도가 큰데, 한 칸 내려갈 때마다 미분이라는 사슬이 세 줄을 하나로 묶어요.

미분이 한 방향이라면 반대로도 갈 수 있어야 한다. 속도 그래프로 돌아가 시간 t 를 끌면 곡선 아래가 0부터 지금까지 색으로 채워지는데, 이 칠해진 넓이가 바로 그동안 이동한 거리, 곧 위치의 변화예요. 속도에 시간을 곱하면 거리이니, 매 순간의 v 를 시간에 걸쳐 쌓아 올린 넓이가 전체 변위가 되는 것이다. 이것이 적분이고, 미분이 곡선에서 기울기를 뽑았다면 적분은 곡선 아래 넓이를 그러모아요. 끝까지 끌면 넓이의 합이 출발점부터 도착점까지의 거리와 딱 맞아떨어지고, 그래서 가속도만 알아도 쌓아서 속도를, 속도를 쌓아서 위치를 되찾을 수 있다. 미분과 적분은 같은 사다리를 오르내리는 두 방향이에요.