속도는 위치의 기울기, 가속도는 속도의 기울기
입자 하나가 직선 위를 움직인다. 시간을 따라가며 보면 입자는 어떤 구간은 빠르게 지나가고 어떤 구간에서는 거의 멈춘 듯 느린데, 같은 1초 동안 옮겨 간 거리가 구간마다 다르기 때문이다. 위치가 얼마나 빨리 변하는지를 나타내는 양이 속도이고, 그 속도마저 순간마다 달라지면 속도가 얼마나 빨리 변하는지를 따로 재야 하는데 그것이 가속도예요. 위치에서 속도로, 속도에서 가속도로 한 단계 올라갈 때 하는 일은 늘 같아서, 얼마나 빨리 변하는지를 묻는 미분 하나면 된다. 거꾸로 변화를 쌓아 올리는 적분을 따라가면 가속도에서 속도로, 속도에서 다시 위치로 돌아올 수 있다. 입자 운동학 전체가 이 두 동작 위에 서 있다.
슬라이더로 시간 t(초)를 끌면 금색 입자가 직선 트랙을 따라 움직이고, 지금의 위치 x(미터)가 입자 위와 아래 줄에 함께 적힌다. 흐린 동그라미들은 같은 시간 간격마다 입자가 있던 자리를 찍어 둔 자국인데, 양 끝에서는 촘촘하고 가운데에서는 듬성듬성하다. 자국이 촘촘한 구간은 느리게, 벌어진 구간은 빠르게 지나간 것이어서 이 입자가 천천히 출발해 가운데서 가장 빠르고 끝에서 다시 느려진다는 것을 알 수 있어요. 시간이 정해지면 위치가 하나로 정해지고, 이 관계 x(t)가 운동을 통째로 담는다. 다음 장면부터는 이 위치가 얼마나 빨리 바뀌는지를 캐 들어간다.
이번에는 같은 운동을 그래프로 펼친다. 가로축은 시간 t, 세로축은 위치 x, 초록 곡선이 앞 장면의 움직임을 옮긴 것이다. 슬라이더로 시간을 옮기면 곡선 위 점에 파란 접선이 붙어 따라오는데, 이 접선의 기울기가 바로 속도 v = dx/dt, 곧 아주 짧은 시간 동안 위치가 얼마나 변하는지다. 곡선이 가파른 가운데에서는 기울기가 커서 빠르고, 평평한 양 끝에서는 기울기가 0에 가까워 거의 멈춘 셈이에요. 속도는 위치의 높이가 아니라 비탈의 가파름이므로, 멀리 가 있어도 그 순간에는 멈춰 있을 수 있고 출발점 근처에서도 빠를 수 있다.
똑같은 일을 한 층 위에서 되풀이한다. 이번 그래프의 세로축은 속도 v, 파란 곡선이 속도의 변화이고, 점에 붙은 주황 접선의 기울기가 가속도 a = dv/dt, 곧 속도가 얼마나 빨리 변하는지다. 출발 직후에는 속도가 커지는 중이라 기울기가 양수이고 가속도도 양이다. 속도가 가장 큰 봉우리에서는 접선이 수평이라 기울기가 0, 그 순간의 가속도도 0이에요. 그 뒤로는 속도가 줄어 기울기가 음수, 곧 감속이다. 위치에 미분을 쓰면 속도가, 속도에 같은 미분을 한 번 더 쓰면 가속도가 나온다는 점이 핵심이에요.
세 그래프를 위아래로 쌓으면 관계가 한눈에 들어온다. 위가 위치 x, 가운데가 속도 v, 아래가 가속도 a, 버튼으로 운동의 종류를 바꿔 가며 세 곡선이 어떻게 맞물리는지 견줄 수 있어요. 등속이면 위치는 곧은 비탈, 속도는 수평선, 가속도는 0이다. 등가속이면 위치는 휘어진 포물선, 속도는 곧게 오르는 직선, 가속도는 일정한 수평선이고, 가속도가 변하는 운동에서는 세 곡선이 모두 굽는다. 어느 경우든 위 그래프의 기울기가 바로 아래 그래프의 높이가 되어, 위치가 가파른 곳에서 속도가 높고 속도가 가파른 곳에서 가속도가 크다.
미분으로 한 방향을 갔다면 반대 방향으로도 돌아올 수 있어야 한다. 속도 그래프로 돌아가 슬라이더로 시간 t(초)를 끌면 0부터 지금까지 곡선 아래가 파랗게 채워지는데, 이 넓이가 그동안의 변위다. 속도에 시간을 곱하면 거리이니, 매 순간의 v, 곧 그때그때의 속도를 시간에 걸쳐 쌓아 올린 넓이가 전체 변위가 되는 셈이다. 이것이 적분이고, 미분이 곡선에서 기울기를 뽑아냈다면 적분은 곡선 아래 넓이를 그러모아요. 끝까지 끌면 넓이가 출발점에서 도착점까지의 거리와 딱 맞아떨어진다. 그래서 가속도를 쌓으면 속도가, 속도를 쌓으면 위치가 되살아나요.