곡선운동의 가속도는 접선과 법선으로 나뉜다

굽은 길 위의 점을 슬라이더로 움직이면 속도 화살표가 어떤 위치에서도 길에 딱 붙어 접선 방향을 가리킨다. 길이 위로 휘면 화살표도 위로, 아래로 꺾이면 화살표도 아래로 늘 진행하는 쪽을 향하고 절대 길을 가로지르거나 뒤를 보지 않아요. 당연한 듯하지만 이것이 곡선운동의 출발점이다. 속도는 위치가 어디로 움직이고 있는지를 말해 주는데, 길 위를 미끄러지는 점은 바로 그 순간 길이 뻗은 방향으로 움직이기 때문이에요. 그래서 곡선을 돌면 속도의 방향이 매 순간 바뀌고, 그 방향 변화를 일으키는 무언가가 반드시 있어야 한다.

가속도가 할 수 있는 첫 번째 일은 속력을 바꾸는 것이다. 슬라이더로 접선 가속도 a_t 를 조절하면, a_t 가 속도와 같은 방향(앞쪽)일 때 점이 점점 빨라지고 반대 방향(뒤쪽)일 때 느려져요. 이 가속도는 늘 길을 따라, 곧 접선 방향으로만 작용해서 접선 가속도라 부르고 크기는 a_t = dv/dt 로 앞 강에서 본 그 속력 변화율 그대로다. 핵심은 접선 가속도가 방향에는 전혀 관여하지 않고 오직 빠르기만 키우거나 줄인다는 것이에요. a_t 를 0으로 두면 속력이 일정해지지만, 곡선 위에서는 속력이 일정해도 방향이 바뀌고 있으니 여전히 가속도가 남는다. 그 나머지가 무엇인지는 다음 장면에서 이어져요.

이번엔 속력을 고정하고 방향만 바꾸는 가속도를 본다. 점이 원호를 따라 도는데 속력은 일정한데도 속도의 방향이 계속 바뀌니 가속도가 있고, 이 가속도는 길에 수직으로 곡선이 휘어 들어가는 안쪽 곧 곡률 중심을 향해서 법선 가속도라 불러요. 크기는 a_n = v²ρ 이고, 여기서 ρ 는 그 지점에서 곡선이 그리는 원의 반지름 곧 곡률 반지름이다. v 슬라이더를 끌면 속력을 두 배로 했을 때 a_n 이 네 배로 뛰는 게 보이는데, v 가 제곱으로 들어가기 때문이에요. 또 급하게 꺾을수록(ρ 가 작을수록) a_n 이 커져서, 같은 속력이라도 더 빡빡한 커브가 더 센 안쪽 당김을 요구한다.

가장 깔끔한 경우는 등속 원운동이다. 속력이 일정한 채 원을 도니 접선 가속도는 0, 남는 것은 오직 법선 가속도뿐인데 이걸 특별히 중심을 향한다는 뜻으로 구심가속도라 불러요. 점을 원 위에서 끌어 한 바퀴 돌리면 속도 화살표는 늘 원에 접해 빙글 돌지만 가속도 화살표는 어느 위치에서든 변함없이 원의 중심을 똑바로 가리킨다. 크기도 v²r 로 일정해요. 속력이 안 변하는데 왜 가속도가 있느냐고 물을 수 있는데, 가속도는 속력이 아니라 속도의 변화이고 방향이 바뀌는 것만으로도 속도는 변하기 때문이에요. 달을 붙잡는 중력, 줄에 매단 돌, 회전하는 놀이기구가 다 이 구심가속도로 설명된다.

이제 둘을 합친다. 곡선 위를 달리는 물체의 진짜 가속도는 접선 가속도와 법선 가속도를 합한 벡터인데, 버튼으로 세 경우를 바꿔 보면 차이가 뚜렷해요. 속력이 일정하면 접선 성분이 0이라 가속도가 순수하게 안쪽을 가리킨다. 빨라지는 중이면 접선 성분이 앞을 향해 더해져 전체 가속도가 진행 방향 쪽으로 기울며, 느려지는 중이면 접선 성분이 뒤를 향해 가속도가 뒤로 기운다. 어느 경우든 안쪽을 향하는 법선 성분 a_n = v²ρ 은 곡선을 도는 한 항상 살아 있고, 전체 크기는 둘을 직각으로 더한 a = √(a_t² + a_n²) 이에요. 결국 곡선운동의 가속도를 이해하는 일은 그것을 길을 따라가는 부분과 길을 가로지르는 부분으로 쪼개 보는 일이다. 다음 강에서는 회전하는 강체로 넘어가 각속도 ω 와 각가속도 α 로 같은 이야기를 다시 해요.