곡선운동의 가속도는 접선과 법선으로 나뉜다

슬라이더로 굽은 길 위의 금색 점을 옮기면, 파란 속도 화살표가 어느 자리에서든 길에 딱 붙어 접선 방향을 가리킨다. 길이 위로 휘면 화살표도 위로, 아래로 꺾이면 화살표도 아래로, 늘 나아가는 쪽을 향하고 길을 가로지르거나 뒤를 보지 않아요. 당연해 보이지만 이것이 곡선운동의 출발점이다. 속도는 위치가 어느 쪽으로 움직이는지를 나타내는 양인데, 길 위를 미끄러지는 점은 그 순간 길이 뻗은 방향으로 움직이기 때문이다. 그래서 곡선을 돌면 속도의 방향이 순간마다 바뀌고, 그 방향 변화를 일으키는 무언가가 반드시 있어야 한다.

가속도가 할 수 있는 첫째 일은 속력을 바꾸는 것이다. 그림은 원호 위 한 자리의 순간을 붙잡아 둔 것이고, 슬라이더로 바꾸는 것은 접선 가속도 a_t, 곧 길을 따라 작용하는 가속도다. a_t 값이 양수면 가속도 화살표가 파란 속도 v와 같은 쪽을 향해 아래 줄에 빨라짐이 뜨고, 음수면 반대쪽을 향해 느려짐이 떠요. 크기는 a_t = dv/dt, 앞 강에서 본 속력의 변화율 그대로다. 접선 가속도는 방향에는 전혀 관여하지 않고 빠르기만 키우거나 줄인다는 점이 중요하다. a_t 값을 0에 두면 속력이 일정해지지만, 곡선 위에서는 속력이 일정해도 방향이 바뀌고 있으니 가속도가 여전히 남는다. 남은 그 몫은 다음 그림에서 다룬다.

이번에는 속력은 그대로 두고 방향만 바꾸는 가속도를 본다. 원호 위의 점은 속력이 일정해도 속도의 방향이 계속 바뀌므로 가속도가 있고, 이 가속도는 길에 수직으로 곡선이 휘어 들어가는 안쪽, 곧 곡률 중심을 향해 법선 가속도라고 부른다. 크기는 a_n = v²ρ이고, ρ는 그 자리에서 곡선에 가장 잘 맞는 원의 반지름인 곡률 반지름이다. 속력 v 슬라이더를 끌어 속력을 두 배로 하면 아래 줄의 a_n, 곧 안쪽으로 당기는 주황 화살표의 크기가 네 배로 뛰어요. 속력 v, 그 값이 제곱으로 들어가기 때문이다. 곡선이 급하게 꺾일수록, 곧 ρ가 작을수록 같은 속력에서도 a_n 값이 커져서 더 빡빡한 커브는 더 센 안쪽 당김을 요구한다.

가장 깔끔한 경우는 등속 원운동이다. 속력이 일정한 채 원을 도니 접선 가속도는 0, 남는 것은 법선 가속도뿐인데 이것을 중심을 향한다는 뜻에서 구심가속도라고 부른다. 위치 슬라이더로 점을 원 위에서 한 바퀴 돌리면 파란 속도 화살표는 늘 원에 접한 채 함께 돌지만, 주황 가속도 화살표는 어느 자리에서든 원의 중심을 똑바로 가리키고 크기도 v²r로 일정해요. 속력이 그대로인데 왜 가속도가 있느냐고 물을 수 있는데, 가속도는 속력이 아니라 속도의 변화이고 방향이 바뀌는 것만으로 속도는 변한다. 지구가 달을 붙잡는 중력, 줄에 매달아 돌리는 돌, 빙빙 도는 놀이기구가 모두 이 구심가속도로 설명된다.

이제 둘을 합친다. 곡선 위를 달리는 물체의 실제 가속도는 접선 성분과 법선 성분을 더한 벡터이고, 버튼으로 세 경우를 바꾸면 그 차이가 뚜렷하게 드러나요. 속력이 일정하면 접선 성분이 0이라 금색 합 가속도가 순수하게 안쪽을 가리킨다. 빨라지는 중이면 접선 성분이 앞쪽으로 더해져 합 가속도가 진행 방향으로 기울고, 느려지는 중이면 접선 성분이 뒤쪽을 향해 합 가속도도 뒤로 기운다. 어느 경우든 안쪽을 향하는 주황 법선 성분 a_n = v²ρ은 곡선을 도는 한 사라지지 않고, 전체 크기는 두 성분을 직각으로 더한 a = √(a_t² + a_n²)이다. 결국 곡선운동의 가속도를 이해한다는 것은 그것을 길을 따라가는 부분과 길을 가로지르는 부분으로 쪼개 보는 일이에요.