알짜힘이 가속도를 만든다, ΣF = ma

매끄러운 바닥 위 상자에 힘 F 를 슬라이더로 주면 F 가 클수록 가속도 a 가 커지는데, 힘과 가속도는 정비례라서 F 를 두 배로 하면 a 도 두 배가 돼요. 식으로는 a = Fm, 돌려 쓰면 F = ma 다. 여기서 중요한 것은 힘이 속도를 직접 정하는 게 아니라 가속도를 정한다는 점인데, 힘을 주면 빨라지고 힘을 거두면 빨라지지도 느려지지도 않은 채 그 속도로 계속 가요. 힘이 0이면 가속도도 0이라 정지든 등속이든 상태가 유지되고, 이것이 관성의 법칙이자 제2법칙의 출발점이다.

실제로는 한 물체에 여러 힘이 동시에 작용한다. 상자를 오른쪽으로 미는 힘과 왼쪽으로 미는 힘이 같이 있다고 하고 오른쪽 힘을 슬라이더로 조절하면, 가속도를 정하는 것이 개별 힘이 아니라 둘을 합한 알짜힘이라는 게 드러나요. 오른쪽이 더 세면 알짜힘이 오른쪽으로 남아 오른쪽으로 가속되고 왼쪽이 더 세면 반대로 가속된다. 두 힘이 똑같으면 알짜힘이 0이라 가속도도 0이 되어, 밀고 당기는 와중에도 물체는 등속이거나 정지 상태예요. 그래서 제2법칙의 F 는 언제나 알짜힘, 곧 모든 힘의 벡터 합 ΣF 를 뜻하고, 힘 하나하나가 아니라 그 합만이 운동을 바꾼다.

알짜힘을 제대로 구하려면 물체 하나만 똑 떼어내 거기 작용하는 힘을 빠짐없이 그려야 하는데, 이것을 자유물체도(FBD)라고 한다. 버튼으로 상황을 바꾸면 경우마다 화살표가 달라져요. 바닥에 놓인 상자에는 아래로 무게 mg 와 위로 수직항력 N 이 작용해 위아래가 균형을 이룬다. 천장에 매달린 추에는 무게 mg 와 줄의 장력 T 가 맞서며, 미는 상자에는 거기에 미는 힘과 마찰까지 더해진다. 규칙은 단순해서, 그 물체에 직접 닿는 힘(접촉력)이나 멀리서 당기는 힘(중력 같은)만 그리고 물체가 남에게 주는 힘은 그리지 않아요. 이렇게 화살표를 다 모은 뒤 방향별로 더하면 알짜힘이 나오고, 그것이 ma 와 같다.

이번엔 힘을 고정하고 질량을 바꾼다. 같은 힘으로 밀어도 가벼운 물체는 쉽게 빨라지고 무거운 물체는 굼뜬데, m 슬라이더를 끌면 a = Fm 에 따라 질량이 커질수록 가속도가 반비례로 줄어드는 게 보여요. 질량을 두 배로 하면 같은 힘에 대한 가속도는 절반이 된다. 그래서 질량은 단순한 무거움이 아니라 운동 상태가 바뀌는 걸 싫어하는 정도, 곧 관성의 크기예요. 텅 빈 쇼핑카트는 살짝 밀어도 휙 나가지만 가득 찬 카트는 온 힘을 줘야 겨우 움직이는 것과 같은 이야기이고, 같은 알짜힘이라도 질량이 다르면 결과인 가속도가 달라진다.

마지막은 경사면 위의 상자다. 마찰이 없다고 하면 작용하는 힘은 아래로 향하는 무게 mg 와 면이 떠받치는 수직항력뿐인데, 가속은 경사면을 따라서만 일어나요. 그래서 무게를 경사면에 평행한 성분 mg sinθ 와 경사면에 수직인 성분 mg cosθ 로 쪼갠다. 수직 성분은 수직항력과 정확히 상쇄돼 면을 누를 뿐 운동을 만들지 않고, 평행 성분만 남아 상자를 미끄러뜨려요. 각도 θ 를 끌면 경사가 가팔라질수록 sinθ 가 커져 가속도 a = g sinθ 가 커지고, θ 가 90도에 가까우면 자유낙하 g 에 다가간다. θ 가 0이면 sinθ 도 0이라 평지에서는 미끄러지지 않아요. 핵심은 알짜힘을 운동이 일어나는 방향으로 분해해 보는 것이다.