알짜힘이 가속도를 만든다, ΣF = ma

매끄러운 바닥 위 상자에 슬라이더로 힘 F, 곧 금색 화살표의 크기를 정한다. F 값이 클수록 상자 위의 주황 화살표가 나타내는 가속도 a 값도 커지고, 둘은 정비례라서 F 값을 두 배로 하면 a 값도 두 배가 된다. 식으로는 a = Fm이고, 돌려 쓰면 익숙한 F = ma, 곧 같은 관계예요. 여기서 중요한 것은 힘이 정하는 것이 속도가 아니라 가속도라는 점이다. 힘을 주면 빨라지고, 힘을 거두면 더 빨라지지도 느려지지도 않은 채 그 속도로 계속 간다. 힘이 0이면 가속도도 0이라 정지든 등속이든 지금 상태가 유지되는데, 이것이 관성의 법칙이자 제2법칙의 출발점이다.

실제로는 한 물체에 여러 힘이 함께 작용한다. 그림의 상자에는 왼쪽으로 미는 파란 힘이 고정되어 있고, 오른쪽으로 미는 금색 힘을 슬라이더로 조절하면 가속도를 정하는 것이 개별 힘이 아니라 둘을 더한 알짜힘이라는 것이 드러나요. 오른쪽 힘이 더 세면 알짜힘이 오른쪽으로 남아 초록 가속도 화살표가 오른쪽을 가리키고, 왼쪽이 더 세면 화살표가 빨갛게 바뀌며 왼쪽을 가리킨다. 두 힘이 똑같으면 알짜힘이 0이라 가속도도 0, 양쪽에서 밀고 있는 와중에도 물체는 등속으로 가거나 멈춘 채 있다. 그래서 제2법칙의 F, 곧 ΣF는 언제나 모든 힘의 벡터 합을 뜻하고, 힘 하나하나가 아니라 그 합만이 운동을 바꿔요.

알짜힘을 제대로 구하려면 물체 하나만 떼어 내 거기 작용하는 힘을 빠짐없이 그려야 하는데, 이것을 자유물체도(FBD)라고 한다. 버튼으로 상황을 바꾸면 경우마다 화살표가 달라진다. 바닥에 놓인 상자에는 아래로 무게 mg, 위로 수직항력 N, 두 힘이 작용해 위아래가 균형을 이뤄요. 천장에 매단 추에는 무게 mg, 그리고 줄의 장력 T, 이 둘이 맞서고, 미는 상자에는 미는 힘과 마찰이 더해진다. 그 물체에 직접 닿아서 주는 힘(접촉력)과 멀리서 당기는 힘(중력 같은 것)만 그리고, 물체가 남에게 주는 힘은 그리지 않는 것이 규칙이다. 이렇게 모은 화살표를 방향별로 더하면 알짜힘이 나오고, 그것을 질량과 가속도의 곱 ma, 이 값과 같다고 놓으면 운동 방정식이 선다.

이번에는 힘을 고정하고 질량을 바꾼다. 같은 힘으로 밀어도 가벼운 물체는 쉽게 빨라지고 무거운 물체는 굼뜬데, 질량 m, 그 슬라이더를 끌면 상자가 커지면서 주황 가속도 화살표가 a = Fm에 따라 반비례로 짧아져요. 질량을 두 배로 하면 같은 힘에 대한 가속도는 절반이 된다. 그래서 질량은 단순한 무거움이 아니라 운동 상태가 바뀌기를 거스르는 정도, 곧 관성의 크기다. 텅 빈 쇼핑 카트는 살짝 밀어도 휙 나가지만 가득 찬 카트는 힘껏 밀어야 겨우 움직이는 것과 같은 이야기여서, 알짜힘이 같아도 질량이 다르면 결과인 가속도가 달라진다.

마지막은 마찰이 없는 경사면 위의 상자다. 상자에 작용하는 힘은 아래로 향하는 무게 mg, 그리고 면이 떠받치는 수직항력뿐인데, 가속은 경사면을 따라서만 일어난다. 그래서 무게를 면에 나란한 성분 mg sinθ, 면에 수직인 성분 mg cosθ, 두 조각으로 쪼갠다. 수직 성분은 수직항력과 정확히 상쇄되어 면을 누를 뿐 운동을 만들지 않고, 나란한 성분만 남아 상자를 미끄러뜨려요. 경사각 θ를 끌어 경사를 가파르게 할수록 sinθ가 커져 주황 가속도 화살표 a = g sinθ가 길어지고, θ가 90도에 가까워지면 자유낙하의 가속도 g, 그 값에 다가간다. θ가 0이면 sinθ도 0이라 평지에서는 미끄러지지 않는다. 알짜힘을 운동이 일어나는 방향으로 나눠 보는 것이 핵심이에요.