충격량은 운동량의 변화와 같다

충격량은 힘에 그 힘이 작용한 시간을 곱한 양, J = F·Δt다. 그래프는 가로축이 시간, 세로축이 힘인 F-t 그래프이고, 주황 수평선이 일정한 힘, 금색으로 칠한 직사각형이 충격량이다. 시간 슬라이더로 Δt를 늘리면 직사각형이 오른쪽으로 넓어지면서 아래 줄의 충격량이 시간에 비례해 커져요. 같은 힘이라도 오래 밀수록 물체에 전해지는 충격량이 크다는 뜻이다. 힘이 시간에 따라 변하더라도 충격량은 언제나 그래프 아래의 넓이, 곧 힘을 시간에 대해 적분한 값이다.

충격량은 어디로 갈까? 물체에 충격량 J, 곧 금색 칸을 주면 운동량 p = mv, 그 파란 처음 몫에 딱 그만큼이 더해진다. 이것을 식으로 쓴 것이 J = Δp, 충격량-운동량 정리다. 슬라이더로 J 값을 늘리면 운동량 막대의 금색 칸이 자라고, 질량은 그대로이니 파란 속도 화살표도 길어져요. 일-에너지 정리에서 처음과 끝의 운동에너지만 알면 일이 나왔듯, 여기서는 처음과 끝의 운동량만 알면 충격량이 나온다. 부딪치는 순간의 힘이 아무리 복잡하게 변해도 상관없다.

두 수레 사이에 끼운 용수철이 둘을 밀어내는 장면이다. 용수철의 힘은 두 수레가 서로 주고받는 안쪽 힘일 뿐 밖에서 들어온 힘이 아니므로, 처음에 멈춰 있던 계의 전체 운동량은 끝까지 0으로 남는다. 그래서 왼쪽으로 가는 운동량과 오른쪽으로 가는 운동량의 크기가 같아야 하고(m₁v₁ = m₂v₂), 질량이 큰 쪽일수록 느리게 물러나요. 슬라이더로 왼쪽 수레의 질량 m₁을 키우면 파란 화살표 v₁은 짧아지고, 오른쪽 수레의 주황 화살표 v₂는 그대로다. 대포를 쏘면 포탄은 빠르게 날아가고 무거운 대포는 천천히 뒤로 밀리는 것도 같은 이치다.

같은 충격량이라도 짧은 시간에 주면 큰 힘이 되고, 긴 시간에 걸쳐 주면 작은 힘이 된다(F = JΔt). 그림의 금색 직사각형은 넓이, 곧 충격량이 늘 같도록 그려져 있어서, 접촉 시간 슬라이더를 줄이면 폭이 좁아지는 만큼 키가 솟고 늘이면 납작해져요. 직사각형의 높이가 바로 힘이다. 에어백과 푹신한 매트, 높은 데서 뛰어내릴 때 무릎을 굽히는 동작은 모두 접촉 시간을 늘려 같은 충격량을 작은 힘으로 받아 내는 방법이다. 반대로 망치로 못을 박을 때는 접촉 시간을 아주 짧게 해서 큰 힘을 얻는다.

버튼으로 충돌의 종류를 고르면, 위 줄은 충돌 전이고 아래 줄은 충돌 후다. 충돌 전에는 파란 수레가 오른쪽으로 달려와 멈춰 있는 같은 질량의 주황 수레와 부딪친다. 달라붙음을 고르면 두 수레가 금색 한 덩어리가 되어 절반의 속도로 함께 가고, 튕김을 고르면 파란 수레가 멈추고 주황 수레가 처음 속도 그대로 달려 나가요. 어느 쪽이든 아래 줄 숫자에서 전체 운동량은 충돌 전과 똑같다. 다른 것은 운동에너지로, 달라붙으면 절반이 열과 소리, 찌그러짐으로 사라지고(비탄성), 완전히 튕길 때만 그대로 남는다(완전탄성). 운동량은 늘 보존되고 운동에너지는 경우에 따라 다르다는 것, 이것이 충돌을 푸는 출발점이에요.