일반 평면운동은 병진과 회전의 합이다
굴러가는 바퀴는 옆으로 나아가면서(병진) 동시에 제자리에서 돈다(회전). 강체가 평면 위에서 하는 움직임은 아무리 복잡해 보여도 모두 이렇게 한 점의 병진과 그 점 둘레의 회전으로 쪼갤 수 있어요. 바퀴가 미끄러지지 않고 구른다면 두 움직임은 따로 놀지 않고 v=rω로 단단히 묶인다. 그 결과 바퀴 위의 점들은 저마다 다른 속도를 갖게 되어, 바닥에 닿은 점은 그 순간 멈춰 있고 꼭대기는 가장 빠르다. 이 강에서는 병진과 회전을 합쳐 바퀴 위 아무 점의 속도를 읽는 법을 세운다.
슬라이더로 바퀴를 굴리면 중심은 바닥과 나란한 직선을 따라 나아가고, 금색 바큇살은 그 중심을 축으로 돌아간다. 점선 원은 출발할 때의 바퀴이고, 파란 이름이 붙은 구간이 중심이 옮겨 간 병진, 주황 호가 그동안의 회전이에요. 이 둘을 더한 것이 일반 평면운동이고, 어떤 점을 기준으로 잡아도 운동은 그 점의 병진과 그 점 둘레의 회전으로 나뉜다. 기준점을 바꾸면 병진 몫은 달라지지만 회전 몫, 곧 각속도는 어느 점에서 보든 같다는 점이 중요하다.
미끄러지지 않고 구를 때는 바퀴 테두리(rim)에서 바닥에 닿았다 떨어진 호의 길이가 바퀴가 굴러간 거리와 정확히 같다. 슬라이더로 바퀴를 굴리면 바닥에 칠해진 초록 선과 바퀴 둘레의 초록 호가 늘 같은 길이로 함께 자라요. 그래서 d = rθ가 성립하고, 양변을 시간으로 미분하면 중심의 속도와 각속도가 v = rω로 묶인다. 바퀴가 헛돌면 호가 거리보다 길어지고, 미끄러지며 끌려가면 호가 거리보다 짧아지므로, 이 식이 바로 미끄러지지 않는다는 조건이다.
바퀴 위 한 점의 속도는 중심의 병진 속도에 그 점의 회전 속도를 더한 값이다. 바닥에 닿은 접점에서는 회전 속도가 병진 속도와 정반대라서 v − rω = 0, 그 순간 멈춰 있고, 중심은 v, 그 병진 속도로만 나아간다. 꼭대기에서는 두 속도가 같은 쪽을 향해 v + rω = 2v로 가장 빨라요. 슬라이더로 속도를 바꾸면 세 화살표가 함께 늘고 줄지만, 바닥은 멈춰 있고 꼭대기는 중심의 두 배라는 비율은 그대로다. 자전거 바퀴의 위쪽 바큇살이 흐릿하게 보이고 아래쪽은 또렷한 것도 이 속도 차이 때문이다.
바닥 접점의 속도가 0이니, 그 순간만큼은 바퀴 전체가 접점을 축으로 도는 셈이다. 이 점을 순간 회전 중심(IC)이라고 부르고, 바퀴 위 어느 점의 속도든 IC 선, 곧 그 점과 접점을 잇는 점선에 수직이며 크기는 ω×(IC까지의 거리)로 정해져요. 슬라이더로 각속도를 바꾸면 화살표들이 모두 함께 커지는데, 접점에서 멀수록 화살표가 길어 꼭대기가 가장 빠르다. 바퀴의 운동을 병진과 회전으로 나누지 않고도 회전 하나로 모든 점의 속도를 단숨에 읽을 수 있는 방법이다.
바퀴 테두리(rim) 위의 한 점을 계속 따라가면 사이클로이드라는 곡선이 그려진다. 슬라이더로 굴림각 φ를 늘리면 금색 점이 아치 모양의 길을 그리며 올라갔다 내려오고, 그 높이가 아래 줄에 적혀요. 이 점은 바닥에 닿는 순간마다 속도가 0이 되어 곡선에 뾰족한 첨점이 생기는데, 그 자리가 곧 순간 회전 중심이기 때문이다. 아치 하나의 폭은 바퀴가 한 바퀴 구른 거리, 곧 바퀴 둘레와 같다.