동역학
일반 평면운동은 병진과 회전의 합이다
병진+회전 분해, 굴림 v=rω(d=rθ), 점속도 vP=vO+ω×r(바닥0·중심v·꼭대기2v), 순간회전중심 IC, 사이클로이드
굴러가는 바퀴는 옆으로 나아가면서(병진) 동시에 돈다(회전). 강체의 평면운동은 모두 이렇게 한 점의 병진 + 그 점 둘레의 회전으로 쪼갤 수 있고, 미끄러지지 않는다면 그 둘이 v=rω 로 단단히 묶여요.
바퀴를 굴리면 중심은 직선을 따라 나아가고(병진) 스포크는 제자리에서 돌아간다(회전). 이 둘을 더한 것이 일반 평면운동이고, 어떤 기준점을 잡아도 병진+회전으로 나뉘어요.
미끄러지지 않는 굴림에서는 바닥에 닿았던 rim 호의 길이가 굴러간 거리와 정확히 같다. 그래서 d = rθ 가 성립하고, 양변을 시간으로 미분하면 중심속도와 각속도가 v = rω 로 묶여요.
바퀴 위 한 점의 속도는 중심의 병진속도에 회전속도를 더한 값이다. 그래서 바닥 접점은 v − rω = 0 이라 그 순간 멈춰 있고, 중심은 v, 꼭대기는 v + rω = 2v 로 가장 빨라요.
바닥 접점의 속도가 0 이니, 그 순간만큼은 바퀴 전체가 접점을 축으로 도는 셈이다. 이 점을 순간회전중심(IC)이라 부르고, 어느 점의 속도든 IC 선에 수직이며 크기는 ω×(IC까지 거리)로 정해져요.
rim 위 한 점을 길게 따라가면 사이클로이드라는 곡선이 그려진다. 바닥에 닿는 순간마다 속도가 0 이라 뾰족한 첨점이 생기는데, 그 자리가 곧 순간회전중심이기 때문이에요.
빠른 적용정리하면 강체의 일반 평면운동은 언제나 병진 + 회전으로 쪼갤 수 있다. 한 기준점의 병진속도에 그 점 둘레의 회전(ω×r)을 더하면 임의 점의 속도가 나오니, vP = vO + ω×rP/O 한 줄이 전부예요. 미끄러지지 않는 굴림이면 접점 속도가 0 이라는 조건에서 v = rω 가 따라오고, 가속도는 한 단계 더 미분해 a = rα 에 구심항 rω² 를 더해 구한다. 속도가 0 인 접점을 순간회전중심(IC)으로 잡으면 회전 한 가지로 모든 점의 속도를 v = ω·d 로 단숨에 읽을 수 있어서, 바닥 0·중심 v·꼭대기 2v 가 한눈에 보여요. rim 의 한 점이 그리는 사이클로이드의 첨점도 결국 같은 이야기다. 다음 강에서는 이 vP = vO + ω×r 관계식을 회전하는 기준틀의 상대운동으로 일반화해, 서로 도는 두 물체(연결 막대·기어 등)의 속도와 가속도를 풀어요.
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