보존력만 있으면 운동에너지와 위치에너지의 합은 일정하다

높이 h 슬라이더를 끌어 공을 들어 올려 보세요. 중력 위치에너지는 PE = mgh, 질량 곱하기 중력가속도 곱하기 높이예요. 높이 들수록 위치에너지가 정비례로 커지죠. 이건 공을 그 높이까지 들어 올리는 데 중력을 거슬러 한 일과 정확히 같아요. 즉, 위치에너지는 나중에 중력이 되돌려줄 일을 미리 저장해 둔 거예요. 기준 하나만 정하면 돼요. 높이 0을 어디로 잡을지는 자유고, 중요한 건 높이의 차이예요. 위치에너지는 운동이 아직 없어도 위치만으로 가진 에너지, 떨어질 잠재력이에요.

이제 공을 떨어뜨리며 두 에너지를 같이 봐요. 공의 높이를 슬라이더로 내려 보세요. 위치에너지 막대는 줄고, 그만큼 운동에너지 막대가 자라요. 둘을 더한 총 막대는 떨어지는 내내 길이가 변하지 않죠. 이게 역학적 에너지 보존이에요. KE + PE = 일정. 위에서 가졌던 위치에너지가 한 푼도 사라지지 않고 운동에너지로 옮겨 갈 뿐이에요. 그래서 출발과 도착, 두 지점의 높이와 속력만 알면 중간 과정을 몰라도 풀려요. 떨어지는 경로가 곧든 굽든, 미끄럼틀이든 자유낙하든 상관없어요. 단, 이 깔끔한 보존은 중력처럼 일이 경로와 무관한 보존력만 작용할 때 성립해요.

가장 아름다운 예가 진자예요. 슬라이더로 진자를 좌우로 흔들어 보세요. 가장 높이 올라간 양 끝에서는 잠깐 멈춰요. 속력이 0이니 운동에너지도 0, 가진 건 전부 위치에너지죠. 거기서 풀려나 내려오면서 위치에너지가 운동에너지로 바뀌고, 맨 아래를 지날 때 가장 빨라요. 높이가 가장 낮으니 위치에너지는 0, 전부 운동에너지로 바뀐 순간이에요. 그리고 다시 반대편으로 올라가며 운동에너지를 위치에너지로 되돌려줘요. 두 막대가 시소처럼 주고받지만 합은 늘 같죠. 마찰이 없다면 진자는 매번 똑같은 높이까지 올라가며 끝없이 흔들려요. 이 교환이 보존의 가장 선명한 그림이에요.

보존 법칙은 깔끔한 공식 하나를 선물해요. 높이 h 에서 가만히 놓아 떨어뜨린 물체가 바닥에 닿는 순간의 속력은 v = √(2gh) 예요. mgh = ½mv² 에서 질량 m 이 양변에서 사라지기 때문이죠. 그래서 무거운 공이든 가벼운 공이든 같은 높이에서 떨어지면 같은 속력으로 도착해요. 높이 h 를 끌어 보면 속력이 높이의 제곱근으로 늘어나요. 높이를 네 배로 해야 속력이 두 배가 되죠. 게다가 이 속력은 떨어진 경로와 무관해요. 수직으로 떨어지든, 마찰 없는 미끄럼틀을 타고 빙 돌아 내려오든, 잃은 높이만 같으면 도착 속력은 똑같아요. 롤러코스터의 맨 아래 속력이 첫 낙하 높이로 정해지는 게 이 때문이에요.

그렇다면 현실에선 왜 진자가 결국 멈출까요? 마찰과 공기저항 같은 비보존력 때문이에요. 버튼으로 마찰을 켜고 꺼 보세요. 마찰이 없으면 총 에너지 막대가 그대로 유지돼, 진자는 매번 같은 높이로 돌아와요. 마찰을 켜면 한 번 오갈 때마다 총 에너지가 조금씩 줄어들죠. 사라진 에너지는 없어진 게 아니라 열과 소리로 흩어진 거예요. 에너지 자체는 늘 보존되지만, 우리가 쓰기 좋은 역학적 에너지(운동+위치)는 비보존력이 있으면 줄어들어요. 그래서 비보존력이 있을 땐 KE + PE 가 일정하다고 못 하고, 대신 그 줄어든 양이 마찰이 한 음의 일과 같다고 봐요. 보존력은 에너지를 빌려주고 돌려받지만, 비보존력은 길에서 새어 나가게 해요.