가속도가 일정하면 v와 x가 공식을 따른다

슬라이더로 가속도 a 를 바꿔 보세요. 일정한 시간 간격으로 찍은 입자의 위치와, 그 순간의 속도 화살표가 같이 보여요. 눈여겨볼 건 속도 화살표예요. a 가 양수면 화살표가 한 칸 갈 때마다 똑같은 양만큼 길어져요. 1초에 a 만큼씩 꼬박꼬박. 이게 가속도가 일정하다는 말의 진짜 뜻이에요. 속도가 일정한 게 아니라, 속도가 늘어나는 양이 일정한 거죠. 그래서 위치 자국은 뒤로 갈수록 벌어져요. 점점 빨라지니까요. a 를 키우면 화살표가 더 가파르게 자라고 입자는 훨씬 멀리 갑니다. a 를 0에 두면 화살표가 전부 똑같아지는데, 그게 바로 앞 강의 등속 운동이에요.

가속도가 일정하면 속도는 시간에 대해 곧은 직선이에요. 시간 t 를 끌면서 속도 v 가 어떻게 변하는지 보세요. 출발할 때의 속도, 그러니까 t=0 에서의 높이가 처음 속도 v0 예요. 그 위에 시간이 흐를수록 a 만큼씩 더해지죠. 직선의 기울기가 바로 a 고요. 이걸 식으로 쓰면 v = v0 + at. 직선이라 외울 것도 없어요. 시작점 v0 에서 매초 a 씩 쌓는다, 그뿐이에요. a 가 양수면 오른쪽 위로 올라가고(빨라짐), 음수면 오른쪽 아래로 내려가요(느려짐). 앞 강에선 속도가 기울기였는데, 여기선 그 기울기가 줄곧 똑같아서 속도 자체가 직선이 된 거예요.

위치는 앞 강에서 봤듯이 속도 그래프 아래의 넓이예요. 등가속도에선 속도가 직선이라 그 아래는 사다리꼴이 되죠. 시간 t 를 끌면서 색칠된 넓이가 어떻게 쌓이는지 보세요. 이 사다리꼴을 둘로 잘라 보면 뜻이 또렷해져요. 아래쪽 직사각형은 처음 속도 그대로 갔다면 갔을 거리 v0t 예요. 그 위에 얹힌 삼각형은 가속 때문에 더 번 거리 ½at² 이고요. 둘을 합치면 x = x0 + v0t + ½at². 시작 위치 x0 에, 등속이라면 갔을 거리, 거기에 가속이 보태 준 거리를 더한 거예요. a 가 0이면 삼각형이 사라지고 직사각형만 남아 x = x0 + v0t, 그냥 등속이 되죠.

가끔은 시간이 궁금하지 않을 때가 있어요. 얼마나 멀리 가야 이 속도에 닿을까, 또는 이만큼 가면 속도가 얼마가 될까. 이럴 땐 시간을 빼 버린 공식이 편해요. v = v0 + at 와 x 공식에서 t 를 소거하면 v² = v0² + 2a·Δx 가 나와요. 그래프로 보면 v² 은 이동 거리 Δx 에 정비례하는 곧은 직선이에요. Δx 를 끌어 보세요. 출발선의 높이는 v0², 직선의 기울기는 2a 죠. 거리를 두 배로 늘리면 v² 의 증가분도 두 배예요. 속도 자체가 아니라 속도의 제곱이 거리에 비례한다는 게 핵심이에요. 그래서 자동차 제동거리는 속도가 두 배면 네 배로 늘어나요. 시간을 한 번도 쓰지 않고 속도와 거리를 바로 잇는 공식이에요.

등가속도의 가장 유명한 주인공은 중력이에요. 공기 저항을 무시하면, 떨어지는 모든 물체는 무게와 상관없이 똑같은 가속도 g, 약 9.8 m/s² 로 아래로 당겨져요. 버튼으로 세 경우를 바꿔 보세요. 가만히 놓기, 아래로 던지기, 위로 던지기. 위를 양수로 잡으면 가속도는 늘 -g 로 똑같아요. 달라지는 건 처음 속도 v0 뿐이죠. 그래서 세 속도-시간 직선은 시작 높이만 다르고 기울기는 모두 같은 평행선이에요. 위로 던진 경우 속도가 0이 되는 순간이 가장 높은 지점이고, 거기서도 가속도는 여전히 -g 예요. 결국 자유낙하는 a = g 인 등가속도 운동일 뿐이라, 앞의 공식들이 그대로 다 통해요.