가속도가 일정하면 v와 x가 공식을 따른다

슬라이더로 가속도 a 값을 바꾸면, 같은 시간 간격으로 찍은 입자의 자리와 그 순간의 속도를 나타내는 파란 화살표가 함께 바뀐다. 눈여겨볼 것은 화살표인데, 오른쪽 칸으로 갈 때마다 길이가 똑같이 a 만큼씩 늘어나요. 칸 사이가 같은 시간이니, 속도가 1초에 a 만큼씩 꼬박꼬박 는다는 것이 가속도가 일정하다는 말의 뜻이다. 속도 자체가 일정한 것이 아니라 속도가 느는 양이 일정한 것이어서, 금색 자국 사이 간격은 오른쪽으로 갈수록 벌어진다. a 값을 키우면 화살표가 더 가파르게 자라고 입자도 훨씬 멀리 가며, a 값을 0에 두면 화살표가 모두 같은 길이가 되어 앞 강의 등속 운동으로 돌아간다.

가속도가 일정하면 속도-시간 그래프는 곧은 직선이 된다. 가로축은 시간 t, 세로축은 속도 v, 시간 슬라이더를 끌면 점이 파란 직선을 따라 오른다. 출발하는 순간인 t = 0에서의 높이가 처음 속도 v0, 왼쪽 축에 짧은 눈금으로 찍어 둔 자리다. 시간이 흐를수록 속도에 매초 a 만큼씩 더해지니 직선의 기울기가 곧 a, 식으로 쓰면 v = v0 + at, 외울 것 없이 시작점에서 매초 같은 양씩 쌓는다는 한 문장이에요. 그래서 이 직선은 시작점 v0, 기울기 a, 두 값으로 정해진다. 그림처럼 기울기가 양수면 오른쪽 위로 오르며 빨라지고, 음수인 a, 곧 감속이라면 오른쪽 아래로 내려가며 느려진다. 앞 강에서는 속도가 기울기였는데, 여기서는 그 기울기가 늘 같아서 속도 자체가 직선이 된 것이다.

앞 강에서 본 대로 위치는 속도 그래프 아래의 넓이이고, 등가속도에서는 속도가 직선이라 그 아래가 사다리꼴이 된다. 시간 슬라이더로 t 값을 늘리면 칠해진 넓이가 오른쪽으로 쌓여 가고, 그때까지 온 위치가 아래 줄에 적힌다. 사다리꼴은 둘로 나뉘는데, 파란 직사각형은 처음 속도 그대로 갔다면 갔을 거리 v0t, 그 위에 얹힌 주황 삼각형은 가속 덕분에 더 간 거리 ½at²예요. 둘을 더하면 x = x0 + v0t + ½at², 곧 출발 위치 x0, 등속이었다면 갔을 거리, 가속이 보탠 거리의 합이다. a 값이 0이면 삼각형이 사라지고 직사각형만 남아 x = x0 + v0t인 등속 운동이 된다.

가끔은 시간이 궁금하지 않을 때가 있다. 얼마나 달려야 이 속도에 닿는지, 이만큼 가면 속도가 얼마가 되는지를 물을 때다. 이럴 때는 시간을 빼 버린 공식이 편한데, v = v0 + at, 그리고 x 공식에 함께 든 시간 t, 이것을 소거하면 v² = v0² + 2a·Δx가 나와요. 그래프로 보면 v²은 이동 거리 Δx에 정비례하는 주황 직선이고, 왼쪽 축의 눈금이 출발할 때의 높이 v0², 직선의 기울기가 2a다. 거리 슬라이더를 끌면 주황 점이 직선을 따라 오르고 아래 줄에서 그때의 속도를 읽을 수 있다. 거리를 두 배로 늘리면 v²의 증가분도 두 배인데, 속도가 아니라 속도의 제곱이 거리에 비례한다는 점이 핵심이에요. 그래서 자동차의 제동 거리는 속도가 두 배면 네 배로 늘어난다.

등가속도의 가장 유명한 주인공은 중력이다. 공기 저항을 무시하면 떨어지는 물체는 무게와 상관없이 모두 같은 가속도 g, 약 9.8 m/s²로 아래로 당겨진다. 버튼으로 놓기, 아래로, 위로 세 경우를 바꿔 보아도 위쪽을 양수로 잡으면 가속도는 언제나 −g, 달라지는 것은 처음 속도 v0 하나뿐이다. 그래서 세 속도-시간 직선은 시작 높이만 다르고 기울기는 같은 평행선이에요. 고른 경우는 굵은 파란 선, 나머지는 흐린 선으로 남는다. 위로 던지면 속도가 0이 되는 순간이 가장 높은 지점이고 금색 점이 그 자리를 짚는데, 거기서도 가속도는 여전히 −g, 멈춘 순간에도 중력은 쉬지 않는다. 결국 자유낙하는 a = g, 곧 아래를 향하는 크기 g의 등가속도 운동일 뿐이라 앞의 공식이 그대로 통해요.