궤도의 모양은 총에너지의 부호가 정한다
위성이든 혜성이든, 그 다음 행로가 원인지 타원인지 아니면 영영 돌아오지 않는 열린 길인지는 딱 한 가지 숫자가 정해요. 바로 총에너지 E = ½mv² − GMm/r이에요. 속도가 주는 운동에너지 ½mv²는 양수이고, 중력이 주는 위치에너지 −GMm/r는 음수예요. 이 둘의 합이 음수면 갇힌 타원, 0이면 아슬아슬한 포물선, 양수면 탈출하는 쌍곡선이에요. 이번 강에서는 에너지 우물, 원뿔곡선, 비스비바 방정식, 유효퍼텐셜, 그리고 발사 결과까지 다섯 장면으로 에너지가 어떻게 궤도의 운명을 정하는지 봐요.
중력의 위치에너지는 U(r) = −GMm/r이에요. 멀수록 0에 가깝고, 가까울수록 깊은 우물처럼 아래로 떨어져요. 여기에 총에너지 E를 수평선으로 그으면, 어떤 거리 r에서든 운동에너지는 KE = E − U(r)로, 선과 곡선 사이의 높이예요. r 슬라이더를 끌면 그 자리에서 운동에너지와 위치에너지가 어떻게 나뉘는지 막대로 보여요. E선이 곡선보다 아래로 내려간 곳은 KE가 음수라 갈 수 없는 금지 구역이에요.
이제 총에너지 E를 0을 가로질러 바꿔봐요. 부호 하나가 궤도의 종류를 통째로 정해요. E < 0이면 갇힌 타원이라 되돌아오고, E = 0이면 딱 경계인 포물선, E > 0이면 열린 쌍곡선이라 다시는 돌아오지 않아요. 슬라이더를 올리면 궤적이 타원에서 포물선으로, 다시 쌍곡선으로 펴지는 게 보이고, 위에 종류 이름이 함께 바뀌어요. 에너지의 부호가 곧 궤도의 운명이에요.
같은 총에너지를 속도의 언어로 바꾸면 비스비바 방정식이 돼요. v² = μ(2/r − 1/a)에서 μ = GM이고 a는 궤도의 반장축이에요. 세그먼트로 원(a = r), 타원(a 고정), 탈출(a → ∞)을 고르고 r 슬라이더를 끌면 그 자리 속도 v가 곡선 위 점으로 읽혀요. 같은 r에서 탈출 속도는 원 속도의 √2배라는 게 곧바로 보여요. 가까울수록 빠르고 멀수록 느린 케플러 제2법칙의 느낌과 딱 맞아요.
각운동량 L이 보존되면, 반지름 방향의 움직임은 유효퍼텐셜 Veff(r) = −GM/r + L²/(2r²) 하나로 볼 수 있어요. 첫 항은 끌어당기는 중력 우물이고, 둘째 항은 L이 클수록 커지는 원심 장벽이라 물체가 중심으로 곤두박질치지 못하게 막아요. L 슬라이더를 키우면 장벽이 자라고 우물 바닥이 밖으로 밀려나요. 우물의 최소점이 바로 원 궤도이고, 에너지선이 곡선과 만나는 두 점이 근점과 원점, 즉 궤도의 두 꼭짓점이에요.
이제 행성 표면에서 직접 쏘아 올려봐요. 발사 속도와 각도, 두 슬라이더가 결과를 정해요. 속도가 원 궤도 속도보다 느리면 포물선처럼 떨어지는 준궤도 비행이고, 딱 원 속도에 수평이면 원 궤도, 그 사이에서 더 빠르면 표면을 벗어나 도는 타원 궤도예요. 탈출 속도를 넘기면 쌍곡선으로 영영 떠나요. 슬라이더를 움직이면 궤적이 그려지고 그 종류가 이름표로 붙어요.