천체·궤도역학

행성은 타원 위에서 같은 넓이를 쓸어낸다

행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원을 돌아요. 같은 시간에 같은 넓이를 쓸어내니 근일점에서 더 빨라요. 주기와 긴반지름은 T² ∝ a³으로 묶여요.

케플러는 화성의 위치를 몇 년치나 뜯어본 끝에 원을 포기하고 타원에 이르렀다. 그가 남긴 세 개의 법칙은 궤도의 모양과 속도와 주기를 한 장의 그림으로 묶어요.

첫 번째 법칙은 궤도가 타원이고 태양이 두 초점 중 하나에 놓인다는 것이다. 이심률 e가 0이면 완벽한 원이고, e가 커질수록 타원은 길쭉해진다. 태양에 가장 가까운 점이 근일점 r = a(1−e), 가장 먼 점이 원일점 r = a(1+e)예요.

두 번째 법칙은 태양과 행성을 잇는 선이 같은 시간에 같은 넓이를 쓸어낸다는 것이다. 그래서 근일점 근처에서는 빠르게, 원일점 근처에서는 느리게 움직여요. 이 넓이 규칙은 각운동량이 보존된다는 말과 정확히 같다.

세 번째 법칙은 주기의 제곱이 긴반지름의 세제곱에 비례한다는 것이다. T² = a³ (T는 년, a는 천문단위) 형태로 쓰면, 멀리 도는 행성일수록 한 바퀴에 훨씬 오래 걸린다는 뜻이 된다.

같은 넓이 법칙을 속도로 바꿔 읽으면 태양에 가까울수록 빨라진다는 말이 된다. 근일점 속력과 원일점 속력의 비는 (1+e)/(1−e)예요. 위치와 속력을 하나로 잇는 식이 다음 강에서 볼 비스비바 v² = μ(2/r − 1/a)다.

이제 세 법칙을 한 화면에서 본다. 행성이 타원을 도는 동안 태양에서 뻗은 부채꼴이 일정한 속도로 채워져요. 시간의 몇 퍼센트가 지났는지와 넓이의 몇 퍼센트를 쓸었는지가 언제나 똑같다.

빠른 적용이심률을 알면 근일점과 원일점 거리가 바로 나오고(r = a(1∓e)), 긴반지름만 알면 주기가 T = a¹.5로 정해진다. 같은 넓이 법칙 덕분에 궤도 어디서든 상대 속력을 (1+e)/(1−e) 비로 가늠할 수 있어요.