행성은 타원 위에서 같은 넓이를 쓸어낸다
케플러는 화성의 관측 기록을 몇 해에 걸쳐 맞춰 본 끝에, 행성이 원을 돈다는 오랜 믿음을 내려놓고 타원에 이르렀다. 그렇게 얻은 세 법칙은 궤도의 모양과 궤도 위에서 빨라지고 느려지는 방식, 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 하나로 엮어요. 첫째 법칙은 모양을, 둘째는 빠르기의 변화를, 셋째는 주기를 말한다.
첫째 법칙은 궤도가 타원이고 태양이 그 두 초점 가운데 하나에 놓인다는 것이다. 슬라이더로 이심률 e를 0에서 키우면 원이던 금색 궤도가 옆으로 길쭉해지고, 태양은 오른쪽 초점에 그대로 남은 채 비어 있는 다른 초점이 왼쪽으로 멀어진다. 태양에서 가장 가까운 초록 점이 근일점이고 거리는 r = a(1−e), 가장 먼 주황 점이 원일점이고 거리는 r = a(1+e)다. 그림에서는 긴반지름 a를 고정해 두었으니 아래 숫자가 곧 e만큼 줄고 늘어난 거리예요.
둘째 법칙은 태양과 행성을 잇는 선이 같은 시간 동안 같은 넓이를 쓸고 지나간다는 것이다. 금색 부채꼴은 늘 같은 길이의 시간 간격을 나타내는데, 슬라이더로 위치를 옮기거나 재생을 눌러도 쓸어낸 넓이 값은 그대로이고 파란 글씨의 호 길이만 달라진다. 근일점 가까이에서는 부채꼴이 짧고 넓적해져 같은 시간에 긴 호를 지나고, 원일점 가까이에서는 길고 가늘어져 호가 짧아져요. 같은 넓이 법칙은 결국 각운동량이 보존된다는 사실을 넓이의 말로 옮겨 적은 것이다.
셋째 법칙은 공전 주기의 제곱이 긴반지름의 세제곱에 비례한다는 것이다. 주기를 년, 긴반지름을 천문단위로 재면 비례 상수까지 사라져 T² = a³이 된다. 슬라이더로 a를 움직이면 금색 점이 회색 곡선을 따라 미끄러지고, 아래 줄의 T²/a³은 어디서나 같은 값에 머문다. 초록 동그라미는 지구의 자리다. 지구보다 바깥에서는 곡선이 가파르게 올라가서, 멀리 도는 행성일수록 한 바퀴에 훨씬 더 오래 걸려요.
같은 넓이 법칙을 속력으로 바꿔 읽으면 태양에 가까울수록 빨라진다는 말이 된다. 슬라이더의 진근점이각 ν는 근일점에서부터 잰 행성의 위치이고, 파란 화살표의 길이가 그 자리의 속력이다. 화살표는 근일점에서 가장 길고 원일점에서 가장 짧은데, 두 속력의 비는 (1+e)/(1−e)예요. 그림의 궤도처럼 이심률이 크면 그 차이가 몇 배로 벌어진다. 위치와 속력을 한 줄로 묶는 식은 다음 강에서 다룰 활력 방정식 v² = μ(2/r − 1/a)이다.
이제 세 법칙을 한 화면에 모은다. 재생을 누르면 행성이 실제 케플러 속도로 타원을 돌고, 같은 시간이 지날 때마다 같은 넓이의 부채꼴이 하나씩 쌓인다. 근일점 쪽 부채꼴은 짧고 넓적하며 원일점 쪽은 길고 가늘지만 넓이는 모두 같다. 그래서 아래의 시간 비율과 넓이 비율은 한 번도 어긋나지 않아요. 속도 버튼으로 재생을 빠르게 하거나 늦춰도, 처음으로 버튼으로 근일점에 되돌려도 두 숫자는 늘 함께 움직인다.