중력은 거리의 제곱에 반비례한다

가운데 금색 원이 질량 M이고, 그 둘레 점선 고리에 놓인 여덟 개의 화살표는 그 자리에 둔 물체가 받는 중력의 방향과 세기를 나타낸다. 화살표는 모두 중심을 향하고 길이가 곧 힘의 크기다. 슬라이더로 거리 r을 늘리면 고리가 넓어지면서 화살표는 거리의 제곱에 맞춰 짧아진다. 거리를 두 배로 하면 힘은 1/4, 세 배로 하면 1/9로 줄어서, 조금만 멀어져도 끌어당기는 힘이 금세 약해진다는 것을 눈으로 확인할 수 있어요.

오른쪽 금색 물체의 질량 m₂를 슬라이더로 키워도, 두 물체가 서로에게 받는 힘은 언제나 같은 크기다. 아래 줄에 적힌 F는 그 하나의 값이고 양쪽에 똑같이 걸린다. 달라지는 것은 가속도다. 가속도는 받은 힘을 제 질량으로 나눈 값이라서, 질량이 고정된 왼쪽의 작은 물체 m₁에서는 초록 화살표 a₁이 m₂에 비례해 길어지고 오른쪽 물체의 주황 화살표 a₂는 길이가 그대로예요. 사과와 지구가 같은 힘으로 당기는데도 눈에 띄게 움직이는 쪽이 사과인 까닭이 여기에 있다.

원 궤도는 떨어지는 움직임과 옆으로 비껴가는 움직임이 꼭 맞아떨어진 상태다. 슬라이더는 점선 원 위의 출발점에서 물체를 옆으로 쏘아 보내는 속도를 정하고, 그림에는 그 뒤 물체가 지나가는 길이 그려진다. 속도가 딱 v = √(GM/r)이면 그 길이 점선 원과 겹친다. 그보다 느리면 원 안쪽으로 파고드는 타원이 되고, 아주 느리면 가운데 천체에 부딪혀요. 반대로 빠르면 바깥으로 늘어난 타원이 되다가 어느 문턱을 넘는 순간 다시 돌아오지 않는 탈출 궤도로 바뀐다.

저울이 재는 몸무게는 그 높이의 중력 가속도 g에 몸의 질량을 곱한 값이다. 고도 슬라이더를 올리면 g = GM/r²이 작아지면서 금색 막대가 낮아지고, 점선으로 그은 g선도 함께 내려간다. 국제우주정거장의 저울이 0을 가리키는 까닭은 중력이 사라져서가 아니에요. 정거장과 우주인이 나란히 자유낙하하고 있어서 발이 저울을 누르지 않을 뿐이다. 자유낙하 버튼을 누르면 막대는 바닥까지 떨어지지만 점선 g선은 제자리에 남는다.

지구처럼 둥근 천체가 만드는 중력은, 바깥에서 보면 모든 질량이 중심 한 점에 모여 있을 때와 똑같다. 이것을 껍질 정리라고 한다. 그래프에는 점질량과 균일한 구의 중력 곡선이 함께 그려져 있고, 버튼으로 고른 쪽이 금색 실선, 다른 쪽이 흐린 점선이다. 세로 점선 R 바깥에서는 두 곡선이 한 줄로 포개지고 안쪽에서만 갈라진다. 구 안으로 들어가면 바깥 껍질이 당기는 힘이 서로 상쇄되어 g가 중심을 향해 곧게 줄어드는 반면, 점질량 쪽은 다가갈수록 끝없이 커진다. 행성을 점 하나로 놓고 계산해도 되는 이유가 여기에 있어요.