호만 전이는 두 번의 점화로 궤도를 갈아탄다
낮은 원궤도에 있던 우주선을 더 높은 원궤도로 올리고 싶어요. 연료를 계속 태우며 나선을 그리는 대신, 가장 알뜰한 방법은 두 원에 살짝 닿는 하나의 타원을 이용하는 거예요. 안쪽에서 한 번 가속해 타원에 올라타고, 반 바퀴 미끄러져 바깥에 닿은 순간 한 번 더 가속해 원으로 눌러앉아요. 딱 두 번의 점화로 궤도를 갈아타는 이 방법을 호만 전이라고 불러요. 먼저 탈출 속도부터 짚고, 전이 타원을 직접 만들어 볼게요.
궤도를 갈아타기 전에, 아예 벗어나려면 얼마나 빨라야 할까요? 반지름 r인 원궤도를 도는 속도는 vcirc = √(GM/r)이에요. 여기서 조금씩 속도를 올리면 궤도는 점점 길쭉한 타원이 되다가, 딱 vesc = √(2GM/r)에서 타원이 열려 포물선이 돼요. 이 값이 바로 탈출 속도이고, 정확히 vesc = √2 · vcirc이에요. 슬라이더로 속도를 올려 보면 √2배가 되는 순간 닫힌 궤도가 열리는 걸 볼 수 있어요.
이제 전이 타원을 직접 만들어 봐요. 안쪽 원(반지름 r₁)에는 근점이, 바깥 원(반지름 r₂)에는 원점이 닿도록 하나의 타원을 그리면 돼요. 이 타원의 긴반지름은 a = (r₁ + r₂) / 2예요. 어느 지점의 속도든 비스-비바 공식 v = √(GM(2/r − 1/a))로 알 수 있어요. 근점에서 원궤도 속도보다 얼마나 더 내야 하는지가 Δv₁, 원점에서 원궤도로 눌러앉히는 데 필요한 양이 Δv₂예요. 슬라이더로 r₂를 키우면 타원이 다시 그려지고 두 점화량이 함께 바뀌어요.
두 점화 사이에 우주선은 엔진을 끄고 그냥 미끄러져요. 근점에서 Δv₁을 한 번 주면 타원에 올라타고, 그다음에는 반 바퀴 도는 동안 아무것도 하지 않고 관성으로 흘러가요. 케플러 법칙대로 근점 근처에서는 빠르고 원점 근처에서는 느려져요. 원점에 닿는 바로 그 순간 Δv₂를 주면 바깥 원에 안착해요. 재생을 눌러 두 번의 점화와 그 사이 반주기의 미끄럼을 지켜봐요.
점화량을 모두 더한 값을 그 임무의 Δv 예산이라고 불러요. 문제는 이 예산이 곧바로 연료로 번역된다는 점이에요. 치올콥스키 로켓 방정식 Δv = ve · ln(m₀ / mf)이 그 다리인데, ve는 배기가스가 뿜어져 나가는 속도, m₀는 출발 질량, mf는 연료를 다 쓴 뒤 질량이에요. 로그 때문에 Δv가 조금만 늘어도 필요한 질량비는 급격히 커져요. 슬라이더로 ve를 낮춰 보면 같은 예산을 대는 데 연료 비중이 얼마나 무섭게 치솟는지 보여요.
호만 전이가 언제나 최선일까요? 두 원의 반지름 비 r₂ / r₁이 아주 클 때는 다른 길이 더 알뜰할 수 있어요. 바로 바이일립틱 전이인데, 목표보다 훨씬 높은 곳까지 한 번 크게 나갔다가 되돌아오면서 세 번 점화해요. 멀리 나가는 만큼 손해 같지만, 높은 곳에서는 궤도를 바꾸는 데 드는 속도 변화가 작아서 이득이 생겨요. 반지름 비가 약 11.94를 넘으면 극단적인 바이일립틱이 호만을 이겨요. 토글로 두 방식을 바꿔 가며 비를 키워, 승자가 뒤바뀌는 지점을 찾아봐요.