역학적 에너지 보존

Conservation of Mechanical Energy

롤러코스터가 높은 곳에서 내려올 때 점점 빨라지는 것은 위치 에너지가 운동 에너지로 바뀌기 때문이에요. 마찰이 없으면 역학적 에너지 합은 일정하게 보존되고, 높이만 알아도 속력을 구할 수 있어요. 높은 곳에서 가진 위치 에너지가 낮은 곳에서는 운동 에너지로 모두 옮겨 간다고 생각하면 돼요. 이 페이지에서는 높이를 슬라이더로 바꿔 가며 위치·운동 에너지가 어떻게 주고받는지 직접 확인해 봐요.

에너지의 변환

🎢 롤러코스터의 비밀

①롤러코스터가 높은 곳에서 내려올 때 점점 빨라집니다

②높이의 에너지(위치 에너지)가 속도의 에너지(운동 에너지)로 변환!

③마찰이 없으면 총 에너지는 항상 같습니다 → 보존

에너지 보존 시각화

높이 h5 m

💡 핵심 관찰

①꼭대기: 위치 에너지 100%, 운동 에너지 0%

②바닥: 위치 에너지 0%, 운동 에너지 100%

③어디서나 PE + KE = 일정! (에너지 보존)

에너지 공식 유도

운동 에너지

E_k = 12mv²

운동하는 물체가 가진 에너지

위치 에너지 (중력)

E_p = mgh

높이 h에 있는 물체가 가진 에너지

역학적 에너지 보존

12mv₁² + mgh₁ = 12mv₂² + mgh₂

마찰 없을 때, 어느 위치에서나 총 역학적 에너지 동일

자유 낙하에 적용

높이 h에서 자유 낙하 시 바닥 속도

v = √(2gh)

mgh = ½mv² → v = √(2gh) (질량 소거!)

⚡ 질량이 사라진다!

①에너지 보존에서 mgh = ½mv² → m이 양변에서 소거

②무거운 공이든 가벼운 공이든 같은 높이에서 떨어지면 같은 속도!

③이것이 갈릴레이의 피사의 사탑 실험의 핵심

예제로 익히기

예제 1

높이 20 m에서 가만히 놓은 물체가 자유 낙하했다. 바닥에 닿는 순간의 속도는? (g = 10 m/s²)

역학적 에너지 보존 mgh = ½mv²에서 질량이 소거되어 v = √(2gh).

v = √(2gh)

g = 10, h = 20을 대입한다.

v = √(2 × 10 × 20) = √400 = 20 m/s

▸ 20 m/s

바닥 속도 v = √(2gh)는 질량과 무관하다. 무거운 물체나 가벼운 물체나 같은 높이면 같은 속도.

예제 2

높이 5 m에서 가만히 놓은 물체에서, 운동 에너지와 위치 에너지가 같아지는 지점의 높이는?

총 에너지는 꼭대기 위치 에너지 mg(5). KE = PE이면 각각 총의 절반이다.

E_p = 12E_total = 12mg(5)

mgh = ½mg·5를 h에 대해 푼다.

mgh = 12mg × 5 ⇒ h = 2.5 m

▸ 2.5 m

KE = PE가 되는 지점은 항상 낙하 높이의 절반. 질량과 g에 무관하다.

총정리

운동 에너지

E_k = 12mv²

위치 에너지

E_p = mgh

에너지 보존 (핵심)

E_k + E_p = 일정 (마찰 없을 때)

위치 에너지 감소량 = 운동 에너지 증가량

수능 유형 변형

마찰이 없는 빗면에서 정지 상태로 놓은 물체가 내려와 바닥에서 속력 6 m/s가 되었다. 처음 높이는? (g = 10 m/s²)

①1.2 m

②1.5 m

③1.8 m

④2.4 m

⑤3.6 m

▸ ③ 1.8 m

마찰이 없으므로 역학적 에너지 보존: mgh = ½mv² → h = v²/(2g).

mgh = 12mv² ⇒ h = v²2g

v = 6, g = 10을 대입한다.

h = 6²2 × 10 = 3620 = 1.8 m

🎯 시험 포인트

①역학적 에너지 = 운동 에너지 + 위치 에너지

②보존 조건: 마찰력, 공기 저항 등 비보존력 없을 때

③자유 낙하 속도: v = √(2gh) 질량 무관!

④진자: 최하점에서 최대 속도, 최고점에서 속도 0

⑤마찰 있으면: E_k + E_p = E₀ - W_마찰 (일부 열로 전환)