어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 그 수의 약수라 하고, 어떤 수를 1배, 2배, 3배 한 수를 그 수의 배수라고 해요.
12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 여섯 개에서 끝나지만, 12의 배수는 12, 24, 36처럼 끝없이 이어져요.
두 수에 함께 들어 있는 약수 가운데 가장 큰 수가 최대공약수, 함께 들어 있는 배수 가운데 가장 작은 수가 최소공배수예요.
아래에서 두 수를 고르면 두 그림에서 겹치는 약수와 처음 만나는 배수를 차례로 확인할 수 있어요.
약수와 배수
약수와 배수는 생활 속의 나누기와 맞추기에 쓰여요. 사탕 12개와 초콜릿 18개를 남김없이 똑같이 나누어 주려면 사람 수가 두 수를 모두 나누어떨어지게 해야 하니 공약수여야 하고, 가장 많은 사람에게 나누어 주는 방법은 최대공약수인 6명이에요. 반대로 12분마다 떠나는 버스와 18분마다 떠나는 버스가 방금 함께 떠났다면, 두 버스는 공배수가 되는 때마다 다시 함께 떠나고, 가장 빠른 때는 최소공배수인 36분 뒤예요. 문제가 나누는 이야기인지 다시 만나는 이야기인지 먼저 가려 두면 약수와 배수 가운데 무엇을 구해야 할지 헷갈리지 않아요.
🍰 똑같이 나눌 수 있으면 약수
①케이크 12조각을 3명이 똑같이 나누면 한 사람에게 4조각씩 돌아가요. 12 ÷ 3 = 4로 나누어떨어지니 3은 12의 약수이고, 12는 3의 배수예요
②12를 나누어떨어지게 하는 수는 1, 2, 3, 4, 6, 12뿐이라서 12의 약수는 여섯 개예요
③1과 자기 자신은 어떤 수에서나 약수예요. 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4처럼 곱해서 그 수가 되는 짝으로 찾으면 빠뜨리지 않아요
공약수와 최대공약수
12
18
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12의 약수와 18의 약수를 겹쳐 놓은 벤 다이어그램
파란 원에는 첫째 수의 약수, 주황 원에는 둘째 수의 약수가 들어 있고, 두 원이 겹친 가운데에 초록으로 적힌 수가 두 수에 함께 들어 있는 공약수예요. 처음 값인 12와 18이면 왼쪽에만 4와 12, 오른쪽에만 9와 18이 남고, 가운데에 1, 2, 3, 6이 놓여요. 맨 아래에는 그 가운데 가장 큰 6이 최대공약수로 적히는데, 이 6이 12와 18을 모두 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수예요. 1은 어떤 수든 나누어떨어지게 하므로 늘 가운데에 있고, 두 수 가운데 하나가 다른 수의 약수이면 작은 수의 약수가 모두 가운데로 옮겨 가요.
🔍 공약수와 최대공약수
①두 수에 함께 들어 있는 약수를 공약수라고 해요. 벤 다이어그램에서 두 원이 겹친 가운데에 있는 수들이에요
②공약수 가운데 가장 큰 수가 최대공약수예요
③공약수는 모두 최대공약수의 약수예요. 12와 18의 공약수 1, 2, 3, 6은 바로 6의 약수예요
공배수와 최소공배수
가장 흔한 실수는 최대공약수와 최소공배수를 서로 바꾸어 쓰는 것이에요. 약수는 그 수보다 커질 수 없으니 최대공약수는 두 수 가운데 작은 수보다 클 수 없고, 배수는 그 수보다 작아질 수 없으니 최소공배수는 두 수 가운데 큰 수보다 작을 수 없어요. 12와 18을 풀었는데 최대공약수가 36처럼 18보다 크거나 최소공배수가 6처럼 12보다 작게 나왔다면 둘을 바꿔 쓴 거예요. 답을 쓴 뒤 두 수의 곱 12 × 18 = 216이 최대공약수 × 최소공배수인 6 × 36 = 216과 같은지 확인하면 계산 실수도 함께 찾을 수 있어요.
↔️ 같은 두 수로 배수 보기
위에서 고른 두 수가 아래 수직선에도 그대로 쓰여요. 위 줄에는 첫째 수의 배수가, 아래 줄에는 둘째 수의 배수가 같은 눈금으로 찍히고, 두 줄이 처음으로 같은 값에 닿는 곳이 초록 점선으로 이어져요.
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12의 배수와 18의 배수를 같은 눈금에 찍은 수직선
🎯 공배수와 최소공배수
①두 수에 함께 들어 있는 배수를 공배수라 하고, 그 가운데 가장 작은 수가 최소공배수예요
②수직선의 두 줄이 처음으로 같은 값에 닿는 초록 점이 최소공배수예요. 12와 18이면 36이에요