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전기기사 전기자기학 · 인덕턴스

Inductance

코일에 전류를 흘리면 자속이 생기고, 그 자속이 코일 자신과 얽히는 양(쇄교 자속 NΦ)을 전류로 나눈 값이 자기 인덕턴스 L = NΦ/I 다. 자속도 N 에 비례하고 그 자속과 얽히는 감은 수도 N 이라서, L 은 감은 수의 제곱에 비례하고 철심의 투자율에도 비례한다. 두 코일이 가까이 있으면 한쪽 자속이 다른 코일과도 얽히는데, 이것이 상호 인덕턴스 M 이고 변압기가 바로 이 원리로 움직여요. 감은 수 · 전류 · 철심 슬라이더로 아래 L 과 Φ 값이 바뀌고, 결합 계수와 코일 1 전류 슬라이더로 두 코일 사이를 건너가는 자속선이 늘거나 줄어요.

코일이 자기 자속에 얽힌다

🌀 인덕턴스란
①전류가 자계를 만들고, 그 자계가 철심 속에 자속 Φ 를 만든다
②이 자속이 코일 감은 수 N 만큼 코일과 얽힌 양 NΦ 를 전류로 나눈 값이 자기 인덕턴스 L 이다
③L 이 클수록 같은 전류로 더 많은 자속을 붙잡아 두고, 전류가 바뀔 때 그만큼 세게 버텨요

자기 인덕턴스 L 살펴보기

100 회
3 A
2000
🔑 그림에서 볼 것
①N 을 두 배로 늘리면 L 은 네 배가 된다(가장 중요한 관계)
②μᵣ 를 키우면 L 도 그만큼 커지는데, 철심이 자속을 모아 주기 때문이다
③전류를 바꾸면 Φ 는 따라 변하지만 L 은 그대로라, L = N²/Rm 이 코일과 철심의 모양만으로 정해진다는 것을 알 수 있어요

인덕턴스 공식

자기 인덕턴스
L = NΦ/I = N²/Rm = N²μA/ℓ [H]
N: 감은 수, Φ: 자속, Rm: 자기 저항. N² 에 비례한다
상호 인덕턴스
M = N₂Φ₁₂/I₁ = k√(L₁L₂) [H]
Φ₁₂: 코일 1 의 전류가 만들어 코일 2 와 얽히는 자속
결합 계수
k = M / √(L₁L₂) (0 ≤ k ≤ 1)
k = 1 이면 완전 결합(이상 변압기), k = 0 이면 결합 없음

도체 모양별 인덕턴스

도선 내부 인덕턴스(단위 길이)
Li = μ8π [H/m]
도선 안을 지나는 자속 몫이다. 전류가 단면에 고르게 흐르면 굵기와 상관없이 μ/(8π) 이다
동축 케이블 바깥 인덕턴스
Lo = μ2π lnba [H/m]
내도체 반지름 a, 외도체 안 반지름 b 사이의 몫. 전체 L = Li + Lo
평행 두 도선
L = μ0π lnda + 2 × μ8π [H/m]
도선 간격 d, 도선 반지름 a. 바깥 몫에 도선 두 개의 내부 몫을 더한다
📏 공식 사이의 닮은꼴
①내부 인덕턴스 Li = μ/(8π) 는 도선 굵기와 상관없는 상수다
②동축 바깥 (μ/2π)·ln(b/a) 는 같은 모양의 누설 저항 (1/2πσ)·ln(b/a) 와 짝을 이룬다
③평행 도선 바깥 (μ₀/π)·ln(d/a) 도 저항 (1/πσ)·ln(d/a) 와 짝이다
④RC = ρε 처럼 바깥 인덕턴스와 정전 용량 사이에는 LC = με 가 성립해요

상호 인덕턴스와 결합

70%
3 A
💡 결합 계수가 뜻하는 것
①k ≈ 0: 코일이 멀거나 방향이 어긋나 서로 얽히는 자속이 거의 없다
②k 가 0.1 ~ 0.5 쯤이면 철심 없이 감은 공심 변압기 수준이다
③k ≈ 1: 두 코일을 같은 철심에 감아 거의 모든 자속이 함께 얽히면 이상 변압기에 가까워져요

시험 핵심 정리

자기 인덕턴스
L = N²μA/ℓ
N² 에 비례
상호 인덕턴스
M = k√(L₁L₂)
0 ≤ k ≤ 1
직렬 가동 접속
L = L₁+L₂+2M
자속이 서로 돕는 방향
직렬 차동 접속
L = L₁+L₂−2M
자속이 서로 지우는 방향
🎯 시험 포인트
①L = NΦ/I = N²/Rm = N²μA/ℓ 에서 N² 비례가 핵심이다
②M = k√(L₁L₂) 로, 결합 계수 k 가 상호 인덕턴스를 정한다
③직렬 가동은 +2M, 차동은 −2M 이라 M = (L가동 − L차동)/4 로 구한다
④에너지는 W = ½LI² 로 인덕턴스와 바로 이어진다
⑤노이만 공식 M = (μ₀/4π)∮∮(dℓ₁·dℓ₂/r) 는 두 회로의 모양만으로 M 을 셈하는 식이에요
📝 대표 기출 유형
①[솔레노이드] N = 1000, μᵣ = 2000, A = 10 cm², ℓ = 50 cm → L = μ₀μᵣAN²/ℓ ≈ 5.03 H
②[동축 케이블] a = 1 cm, b = 3 cm → Lo = (μ₀/2π)·ln 3 ≈ 0.22 μH/m
③[결합 계수] L₁ = 4 H, L₂ = 9 H, M = 3 H → k = M/√(L₁L₂) = 3/6 = 0.5
④[직렬 접속] 가동 L = L₁ + L₂ + 2M, 차동 L = L₁ + L₂ − 2M 이므로 M = (L가동 − L차동)/4 예요
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