전기기사 전기자기학 · 인덕턴스

Inductance

코일에 전류를 흘리면 자계가 생기고, 그 자속이 자기 자신의 코일과 다시 얽히는 정도가 자기 인덕턴스 L이에요. L이 클수록 같은 전류로도 더 많은 자속을 코일 안에 가두어 두고, 인덕턴스는 감은 수의 제곱에 비례해서 N을 늘리면 급격히 커져요. 철심의 투자율이 높을수록 자속이 집중돼 L이 커지며, 두 코일이 가까우면 한쪽 자속이 다른 코일과도 얽히는데 이것이 상호 인덕턴스이고 변압기의 원리예요. 감은 수와 전류, 철심, 결합 정도를 바꾸면 인덕턴스와 쇄교 자속이 어떻게 변하는지 보여요.

코일이 자기 자신의 자속을 느낀다

🌀 인덕턴스란?

①전류가 자계를 만들고, 그 자계가 자속을 만듭니다

②이 자속이 자기 자신의 코일과 쇄교(교차)하는 정도 → 자기 인덕턴스 L

③L이 클수록 같은 전류로 더 많은 자속을 "가두어" 둡니다

자기 인덕턴스 L 탐색

감은 수 N100 turns

전류 I [A]3 A

철심 μᵣ2000

🔑 핵심 관찰

①N↑ → L은 N²에 비례하여 급격히 증가! (가장 중요한 관계)

②μᵣ↑ → L도 비례 증가 (철심이 자속을 집중)

③L = NΦ/I = N²/Rm: 자기회로와 직접 연결됩니다

인덕턴스 공식

자기 인덕턴스

L = NΦ/I = N²/Rm = N²μA/ℓ [H]

N: 감은수, Φ: 자속, Rm: 자기저항. N²에 비례!

상호 인덕턴스

M = N₂Φ₁₂/I₁ = k√(L₁L₂) [H]

Φ₁₂: 코일1의 전류로 코일2를 쇄교하는 자속

결합계수

k = M / √(L₁L₂) (0 ≤ k ≤ 1)

k=1: 완전결합(이상 변압기), k=0: 무결합

도체별 인덕턴스 계산

전선 내부 인덕턴스

L_i = μ8π [H/m]

도선 내부 자속에 의한 인덕턴스. 주파수·재질 무관 (비자성체 μ=μ₀ 시)

동축 케이블 외부

L_o = μ2π lnba [H/m]

내경 a, 외경 b 사이 외부 인덕턴스. 전체 L = Li + Lo

평행 전선

L = μ₀π lnda + 2 × μ8π [H/m]

선간 거리 d, 도선 반지름 a. 외부+내부(×2, 도선 2개)

📏 인덕턴스 공식 패턴

①내부 Li = μ/(8π): 형상 무관 상수

②동축 외부: (μ/2π)·ln(b/a) 저항 공식 (1/2πk)·ln(b/a)과 대응

③평행전선 외부: (μ₀/π)·ln(d/a) 저항 공식 (1/πk)·ln(d/a)과 대응

④R×C = ρε 처럼 L×C = με 관계도 성립

상호 인덕턴스와 결합

결합계수 k [%]70%

코일1 전류 I₁ [A]3 A

💡 결합의 물리적 의미

①k ≈ 0: 코일이 멀거나 방향 불일치 → 자속 쇄교 거의 없음

②k ≈ 0.5: 공심(air-core) 변압기 수준

③k ≈ 1: 공통 철심으로 밀결합 → 이상 변압기에 근접

시험 핵심 정리

자기 인덕턴스

L = N²μA/ℓ

N²에 비례

상호 인덕턴스

M = k√(L₁L₂)

0 ≤ k ≤ 1

직렬 접속 (가동)

L = L₁+L₂+2M

같은 방향 자속

직렬 접속 (차동)

L = L₁+L₂−2M

반대 방향 자속

🎯 시험 포인트

①L = NΦ/I = N²/Rm = N²μA/ℓ: N²에 비례가 핵심!

②M = k√(L₁L₂): 결합계수 k로 상호인덕턴스 결정

③직렬 가동(+2M) vs 차동(−2M) → M = (L가동−L차동)/4

④에너지: W = ½LI². 인덕턴스와 에너지 직접 연결

⑤노이만 공식: M = (μ₀/4π)∮∮(dℓ₁·dℓ₂/r) 기하학적 계산

📝 대표 기출문제

①[솔레노이드] N=1000, μᵣ=2000, A=10cm², l=50cm → L=μ₀μᵣAN²/l 계산

②[동축케이블] 내경 1cm, 외경 3cm → Lo=μ₀/(2π)·ln(3) ≈ 0.22μH/m

③[결합계수] L₁=4H, L₂=9H, M=3H → k=M/√(L₁L₂)=3/6=0.5

④[직렬접속] 가동 시 L=L₁+L₂+2M, 차동 시 L=L₁+L₂−2M → M=(L가−L차)/4