인덕턴스

Inductance

코일에 전류를 흘리면 자계가 생기고, 그 자속이 자기 자신의 코일과 다시 얽히는 정도가 자기 인덕턴스 L이에요. L이 클수록 같은 전류로도 더 많은 자속을 코일 안에 가두어 두고, 인덕턴스는 감은 수의 제곱에 비례해서 N을 늘리면 급격히 커져요. 철심의 투자율이 높을수록 자속이 집중돼 L이 커지며, 두 코일이 가까우면 한쪽 자속이 다른 코일과도 얽히는데 이것이 상호 인덕턴스이고 변압기의 원리예요. 슬라이더로 감은 수와 전류, 철심, 결합 정도를 바꿔 인덕턴스와 쇄교 자속이 어떻게 변하는지 확인해 봐요.

코일이 자기 자신의 자속을 느낀다

🌀 인덕턴스란?

①전류가 자계를 만들고, 그 자계가 자속을 만듭니다

②이 자속이 자기 자신의 코일과 쇄교(교차)하는 정도 → 자기 인덕턴스 L

③L이 클수록 같은 전류로 더 많은 자속을 "가두어" 둡니다

자기 인덕턴스 L 탐색

감은 수 N100 turns

전류 I [A]3 A

철심 μᵣ2000

🔑 핵심 관찰

①N↑ → L은 N²에 비례하여 급격히 증가! (가장 중요한 관계)

②μᵣ↑ → L도 비례 증가 (철심이 자속을 집중)

③L = NΦ/I = N²/Rm: 자기회로와 직접 연결됩니다

인덕턴스 공식

자기 인덕턴스

L = NΦ/I = N²/Rm = N²μA/ℓ [H]

N: 감은수, Φ: 자속, Rm: 자기저항. N²에 비례!

상호 인덕턴스

M = N₂Φ₁₂/I₁ = k√(L₁L₂) [H]

Φ₁₂: 코일1의 전류로 코일2를 쇄교하는 자속

결합계수

k = M / √(L₁L₂) (0 ≤ k ≤ 1)

k=1: 완전결합(이상 변압기), k=0: 무결합

도체별 인덕턴스 계산

전선 내부 인덕턴스

L_i = μ8π [H/m]

도선 내부 자속에 의한 인덕턴스. 주파수·재질 무관 (비자성체 μ=μ₀ 시)

동축 케이블 외부

L_o = μ2π lnba [H/m]

내경 a, 외경 b 사이 외부 인덕턴스. 전체 L = Li + Lo

평행 전선

L = μ₀π lnda + 2 × μ8π [H/m]

선간 거리 d, 도선 반지름 a. 외부+내부(×2, 도선 2개)

📏 인덕턴스 공식 패턴

①내부 Li = μ/(8π): 형상 무관 상수

②동축 외부: (μ/2π)·ln(b/a) 저항 공식 (1/2πk)·ln(b/a)과 대응

③평행전선 외부: (μ₀/π)·ln(d/a) 저항 공식 (1/πk)·ln(d/a)과 대응

④R×C = ρε 처럼 L×C = με 관계도 성립

상호 인덕턴스와 결합

결합계수 k [%]70%

코일1 전류 I₁ [A]3 A

💡 결합의 물리적 의미

①k ≈ 0: 코일이 멀거나 방향 불일치 → 자속 쇄교 거의 없음

②k ≈ 0.5: 공심(air-core) 변압기 수준

③k ≈ 1: 공통 철심으로 밀결합 → 이상 변압기에 근접

시험 핵심 정리

자기 인덕턴스

L = N²μA/ℓ

N²에 비례

상호 인덕턴스

M = k√(L₁L₂)

0 ≤ k ≤ 1

직렬 접속 (가동)

L = L₁+L₂+2M

같은 방향 자속

직렬 접속 (차동)

L = L₁+L₂−2M

반대 방향 자속

🎯 시험 포인트

①L = NΦ/I = N²/Rm = N²μA/ℓ: N²에 비례가 핵심!

②M = k√(L₁L₂): 결합계수 k로 상호인덕턴스 결정

③직렬 가동(+2M) vs 차동(−2M) → M = (L가동−L차동)/4

④에너지: W = ½LI². 인덕턴스와 에너지 직접 연결

⑤노이만 공식: M = (μ₀/4π)∮∮(dℓ₁·dℓ₂/r) 기하학적 계산

📝 대표 기출문제

①[솔레노이드] N=1000, μᵣ=2000, A=10cm², l=50cm → L=μ₀μᵣAN²/l 계산

②[동축케이블] 내경 1cm, 외경 3cm → Lo=μ₀/(2π)·ln(3) ≈ 0.22μH/m

③[결합계수] L₁=4H, L₂=9H, M=3H → k=M/√(L₁L₂)=3/6=0.5

④[직렬접속] 가동 시 L=L₁+L₂+2M, 차동 시 L=L₁+L₂−2M → M=(L가−L차)/4