전기영상법

Method of Images

거울 앞에 서면 유리 뒤에 똑같은 상이 보이듯, 전기영상법은 도체 평면을 거울로 삼아 반대편에 부호가 반대인 영상 전하를 놓는 방법이에요. 이렇게 하면 도체 표면에서 전위가 0이 되는 조건이 저절로 만족돼, 복잡한 유도 전하 분포를 직접 구하지 않고도 전계와 힘을 계산할 수 있어요. 평면에서는 영상 전하가 크기가 같고 부호만 반대이지만, 접지 구도체에서는 크기와 위치가 달라져 구 안쪽에 자리 잡아요. 슬라이더로 전하의 높이와 거리를 바꿔 가며 영상 전하가 어디에 어떤 크기로 생기는지 살펴봐요.

거울 속 전하

🪞 거울의 원리

화장실 거울 앞에 서면 거울 "뒤"에 나와 똑같은 사람이 보인다

①전기영상법도 마찬가지: 도체 평면을 거울로 보고, 반대편에 부호가 반대인 "영상 전하"를 놓으면

②도체 표면에서 전위 = 0 조건이 자동으로 만족된다

③복잡한 유도 전하 분포를 직접 구하지 않고도 전계를 계산할 수 있다

도체 평면의 영상 전하

전하 높이 h3

🔑 핵심 관찰

도체 평면의 경우

①영상 전하 Q' = −Q (크기 같고 부호 반대)

②거리도 같음: 평면으로부터 h 위치에 대칭

③도체 표면에서 전위 = 0 자동 만족

④영상법은 도체 바깥(실전하 영역)에서만 유효

도체 평면 영상 전하

Q' = −Q, 영상 위치: 평면 대칭 (거리 h)

무한 도체 평면 + 점전하 Q: 영상은 크기 같고 부호 반대

도체 평면과의 힘

F = -Q²16πε₀ h² [N]

두 전하 사이 거리 = 2h → 쿨롱 힘 계산 (음부호 = 흡인력)

무한원 운반 에너지

W = Q²16πε₀ h [J]

전하를 도체 표면에서 무한원까지 떼어내는 데 필요한 에너지

최대 표면 전하밀도

σ_max = -Q2π h² [C/m²]

도체 평면에서 전하 바로 아래(최근접점)의 유도 전하밀도

도체 평면과 선전하

📏 송전선과 대지

무한 직선 도체(선전하 λ C/m)가 접지 평면 위 h에 있을 때

①평면 대칭 위치에 −λ를 놓으면 영상법 성립

②단위 길이당 힘 F와 정전용량 C를 구할 수 있다

③이 문제는 가공 송전선로의 정전용량 공식의 기초

선전하: 단위 길이당 힘

F = -λ²4πε₀ h [N/m]

흡인력. λ: 선전하밀도 [C/m], h: 평면까지 높이

선전하: 대지와의 정전용량

C = 2πε₀ln(2h/a) [F/m]

a: 도선 반지름. 가공 송전선로 기초 공식

접지 구도체의 영상 전하

전하 거리 (상대값)3

접지 구도체 영상 전하

Q' = -ad Q, 위치: 구 중심에서 a²d

반지름 a인 접지 구, 구 중심에서 거리 d에 점전하 Q

💡 구도체 vs 평면

①구도체: 영상 전하 크기가 Q와 다르다 → Q'=−(a/d)Q

②구도체: 영상 전하 위치 = a²/d (구 중심 기준, 구 내부)

③d → ∞이면 Q' → 0, 위치 → 구 중심 (먼 전하의 영향 사라짐)

④d → a이면 Q' → −Q (도체 평면 결과와 유사)

⑤작용하는 힘: 영상 전하와 점전하 사이에는 항상 흡인력

유전체 경계의 영상법

유전체 경계 영상 전하

Q' = -ε₂ - ε₁ε₂ + ε₁ · Q

ε₁ 영역에서 본 영상 전하 (경계면 대칭 위치)

경계 너머 등가 전하

Q'' = 2ε₂ε₂ + ε₁ · Q

ε₂ 영역에서 원래 전하 위치에 놓이는 등가 전하

📐 2차원 문제: 전기력선과 등전위선

전기력선과 등전위선은 항상 직교한다

①2차원 전기력선 방정식: dy/dx = E_y/E_x

②등전위선: V(x,y) = C 곡선

③두 평행 도선: 등전위선 = 원, 전기력선 = 원 (직교 원족)

전기영상법 총정리

도체 평면 + 점전하

Q' = −Q

대칭 위치, 부호 반대

접지 구도체

Q' = −(a/d)Q

위치 a²/d

평면 + 점전하 힘

F = Q²16πε₀ h²

항상 인력

평면 + 선전하 힘

F = λ²4πε₀ h

단위길이당 인력

유전체 경계

Q' = -ε₂ - ε₁ε₂ + ε₁ · Q

분모 합에 주의

선전하 정전용량

C = 2πε₀ln(2h/a)

대지와 F/m

🎯 시험 포인트

①도체 평면 + 점전하: Q'=−Q, 거리 2h → F=Q²/(16πε₀h²), W=Q²/(16πε₀h)

②접지 구: Q'=−(a/d)Q, 위치=a²/d (구 중심 기준)

③도체 평면 + 선전하: F=λ²/(4πε₀h), C=2πε₀/ln(2h/a) 송전선 정전용량 기초

④유전체 경계: 분모(ε₂+ε₁)에 주의. ε₂=∞이면 도체 평면 결과로 수렴

⑤최대 표면전하밀도 σ_max=−Q/(2πh²): 전하 바로 아래가 최대

⑥영상법은 도체 바깥(실제 전하 영역)에서만 유효

⑦전기력선과 등전위선은 반드시 직교: 시험 핵심 지문

📝 대표 기출문제

①[평면 힘 계산] 접지 도체 평면에서 h=10cm 위에 Q=1μC 점전하 → F=Q²/(16πε₀h²) 대입

②[구도체 영상] 반지름 a=5cm 접지 구에서 d=15cm 거리에 Q → Q'=−(a/d)Q=−Q/3, 위치=a²/d≈1.67cm

③[유전체 경계] ε₁=ε₀, ε₂=3ε₀ → Q'=−(3−1)/(3+1)·Q=−Q/2

④[선전하 정전용량] 높이 h=10m, 반지름 a=1cm인 가공 전선 → C=2πε₀/ln(2000) 계산