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전기기사 전기자기학 · 전기영상법

Method of Images

거울 앞에 서면 유리 뒤에 같은 모습이 보이듯, 전기영상법은 접지 도체 평면을 거울로 삼아 반대편에 부호가 반대인 영상 전하를 놓는 방법이에요. 그러면 도체 표면의 전위가 0 이라는 조건이 저절로 맞춰져, 복잡한 유도 전하 분포를 구하지 않고도 전계와 힘을 계산할 수 있어요. 평면에서는 영상 전하가 크기는 같고 부호만 반대이지만, 접지 구도체에서는 크기가 a/d 배로 줄고 구 안쪽 a²/d 자리에 놓여요. 높이 h 슬라이더를 움직이면 빨간 +Q 와 파란 영상 −Q 가 평면을 사이에 두고 같은 거리만큼 멀어지고, 거리 슬라이더로 점전하를 구에서 떼면 구 안의 영상 전하가 중심 쪽으로 다가가요.

거울 속 전하

🪞 거울의 원리
①거울 앞에 서면 거울 뒤에 같은 거리만큼 떨어진 자리에 내 모습이 보인다
②전기영상법도 도체 평면을 거울로 보고, 반대편 대칭 자리에 부호가 반대인 영상 전하를 놓는다
③그러면 도체 표면의 전위 = 0 조건이 저절로 맞는다
④그래서 복잡한 유도 전하 분포를 직접 구하지 않고도 전계를 계산할 수 있어요

도체 평면의 영상 전하

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🔑 핵심 관찰
①도체 평면의 영상 전하는 Q' = −Q 로 크기가 같고 부호만 반대다
②거리도 같아 평면 아래 h 자리에 대칭으로 놓인다
③그래서 도체 표면에서 전위 = 0 이 저절로 맞는다
④영상 전하는 계산용이라, 영상법의 답은 도체 바깥(실제 전하가 있는 쪽)에서만 써요
도체 평면 영상 전하
Q' = −Q, 영상 위치: 평면 대칭(거리 h)
무한 도체 평면과 점전하 Q: 영상은 크기가 같고 부호가 반대다
도체 평면이 당기는 힘
F = -Q216πε0 h2 [N]
두 전하 사이 거리가 2h 인 쿨롱 힘이다(음의 부호 = 끌어당기는 힘)
무한히 먼 곳까지 떼어 내는 에너지
W = Q216πε0 h [J]
도체 표면 근처의 전하를 무한히 먼 곳까지 떼어 내는 데 드는 에너지다
최대 표면 전하밀도
σmax = -Q2π h2 [C/m2]
전하 바로 아래(가장 가까운 점)의 유도 전하밀도다

도체 평면과 선전하

📏 송전선과 대지
①선전하밀도 λ [C/m] 인 무한 직선 도체가 접지 평면 위 h 에 있다
②평면 대칭 자리에 −λ 를 놓으면 영상법이 성립한다
③이로써 단위 길이당 힘 F 와 대지와의 정전용량 C 를 구한다
④가공 송전선로의 정전용량 공식이 여기서 출발해요
선전하: 단위 길이당 힘
F = -λ24πε0 h [N/m]
끌어당기는 힘이다. λ: 선전하밀도 [C/m], h: 평면까지 높이
선전하: 대지와의 정전용량
C = 2πε0ln(2h/a) [F/m]
a: 도선 반지름. 가공 송전선로의 기초 공식이다

접지 구도체의 영상 전하

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접지 구도체 영상 전하
Q' = -ad Q, 위치: 구 중심에서 a2d
반지름 a 인 접지 구의 중심에서 거리 d 에 점전하 Q 가 있다
💡 구도체와 평면의 차이
①구도체의 영상 전하는 크기가 Q 와 다른 Q' = −(a/d)Q 다
②위치는 구 중심에서 a²/d, 곧 구 안쪽이다
③d → ∞ 이면 Q' → 0 이고 위치는 구 중심으로 가서, 먼 전하의 영향이 사라진다
④d → a 이면 Q' → −Q 로 도체 평면의 결과에 가까워진다
⑤점전하와 영상 전하는 부호가 반대라 늘 서로 끌어당겨요

유전체 경계의 영상법

유전체 경계 영상 전하
Q' = -ε2 - ε1ε2 + ε1 · Q
ε₁ 영역에서 본 영상 전하(경계면 대칭 자리)
경계 너머의 등가 전하
Q'' = 2ε2ε2 + ε1 · Q
ε₂ 영역의 전계를 구할 때 원래 전하 자리에 놓는 등가 전하
📐 2차원 문제: 전기력선과 등전위선
①전기력선과 등전위선은 늘 직교한다
②2차원 전기력선 방정식은 dy/dx = E_y/E_x 다
③등전위선은 V(x, y) = C 인 곡선이다
④평행한 두 도선에서는 등전위선과 전기력선이 모두 원이고, 서로 직교하는 두 원 무리를 이뤄요

전기영상법 정리

도체 평면 + 점전하
Q' = −Q
대칭 자리, 부호 반대
접지 구도체
Q' = −(a/d)Q
위치 a²/d
평면 + 점전하 힘
F = Q216πε0 h2
늘 인력
평면 + 선전하 힘
F = λ24πε0 h
단위 길이당 인력
유전체 경계
Q' = -ε2 - ε1ε2 + ε1 · Q
분모의 합에 주의
선전하 정전용량
C = 2πε0ln(2h/a)
대지와의 용량 [F/m]
🎯 시험 포인트
①도체 평면 + 점전하: Q' = −Q, 거리 2h 라서 F = Q²/(16πε₀h²), W = Q²/(16πε₀h)
②접지 구: Q' = −(a/d)Q, 위치는 구 중심에서 a²/d
③도체 평면 + 선전하: F = λ²/(4πε₀h), C = 2πε₀/ln(2h/a) 는 송전선 정전용량의 기초다
④유전체 경계는 분모(ε₂ + ε₁)를 조심하고, ε₂ = ∞ 이면 도체 평면 결과와 같아진다
⑤최대 표면 전하밀도 σ_max = −Q/(2πh²) 는 전하 바로 아래에서 나온다
⑥영상법의 답은 도체 바깥(실제 전하 쪽)에서만 쓴다
⑦전기력선과 등전위선이 직교한다는 지문은 자주 나와요
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 접지 도체 평면에서 h = 10 cm 위에 Q = 1 μC 이 있을 때 힘을 구하시오. (답: F = Q²/(16πε₀h²) = 10⁻¹² / (16π × 8.854×10⁻¹² × 0.01) ≈ 0.225 N, 인력)
②[기출유형] 반지름 a = 5 cm 인 접지 구의 중심에서 d = 15 cm 떨어진 점전하 Q 의 영상 전하를 구하시오. (답: Q' = −(a/d)Q = −Q/3, 위치 a²/d ≈ 1.67 cm)
③[기출유형] ε₁ = ε₀, ε₂ = 3ε₀ 인 경계에서 영상 전하를 구하시오. (답: Q' = −(3 − 1)/(3 + 1)·Q = −Q/2)
④[기출유형] 높이 h = 10 m, 반지름 a = 1 cm 인 가공 전선과 대지 사이 정전용량을 구하시오. (답: C = 2πε₀/ln(2000) ≈ 7.3 pF/m)
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유전체의 특수현상
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전류와 전류밀도

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