하전입자의 운동

Charged Particle Motion

자계 속으로 들어간 전하는 로렌츠 힘을 받는데, 이 힘은 언제나 속도에 수직으로 작용해요. 그래서 속력은 그대로인 채 방향만 계속 꺾여, 결국 일정한 속력으로 원을 그리며 도는 사이클로트론 운동을 하게 돼요. 반지름은 r=mv/(qB)라서 빠를수록 커지고 자계가 셀수록 좁아지며, 전하의 부호가 반대면 도는 방향도 반대가 돼요. 슬라이더로 자속밀도와 속도를 바꾸고 양전하와 음전하를 번갈아 눌러, 궤도의 크기와 회전 방향이 어떻게 달라지는지 살펴봐요.

전하가 자계에 들어가면?

🌀 로렌츠 힘의 작용

①자계 속을 움직이는 전하에 F = qv × B (로렌츠 힘) 작용

②이 힘은 항상 v에 수직 → 속력 불변, 방향만 변화

③결과: 등속 원운동. 이것이 사이클로트론 운동!

사이클로트론 운동

자속밀도 B [T]1 T

입자 속도 v₀ (상대값)5

🔑 핵심 관찰

①v↑ → r↑ (궤적 커짐): 빠를수록 큰 원

②B↑ → r↓ (궤적 좁아짐): 강한 자계가 더 세게 휨

③양전하/음전하 → 회전 방향 반대! (부호에 의존)

핵심 공식

로렌츠 힘

F = q(E + v × B) [N]

전계력 qE + 자계력 qv×B: 전자기력의 총합

사이클로트론 반지름

r = mv/(qB) [m]

원운동: qvB = mv²/r → r = mv/(qB)

사이클로트론 주파수

fc = qB/(2πm) [Hz]

속도에 무관! 자계와 질량만으로 결정 (입자 가속기 원리)

⚡ 속도와 무관한 주파수

①r = mv/(qB) → v↑ 이면 r↑

②주기 T = 2πr/v = 2πm/(qB) → v가 소거됨!

③따라서 fc = 1/T = qB/(2πm) → 속도에 무관 (사이클로트론 핵심)

홀 효과

홀 전압

Vh = BI/(ned) [V]

n: 캐리어 밀도, e: 전자전하, d: 도체 두께

💡 홀 효과의 활용

①전류 흐르는 도체에 B를 걸면 → 횡방향에 전위차(Vh) 발생

②Vh로 B를 측정 → 홀 센서 (자기장 측정기)

③캐리어 유형(전자/정공) 판별 → 반도체 n형/p형 구분 가능

시험 핵심 정리

로렌츠 힘

F = qv×B

v에 수직

사이클로트론

r = mv/(qB)

fc = qB/(2πm)

🎯 시험 포인트

①F = q(E + v×B): 전계력 + 자계력 = 로렌츠 힘

②r = mv/(qB): 반지름은 v에 비례, B에 반비례

③fc = qB/(2πm): 주파수는 속도에 무관! (시험 출제 포인트)

④플레밍 왼손: 엄지(F), 검지(B), 중지(I) 전동기 원리

⑤홀 전압 Vh = BI/(ned): 자기 센서, 반도체 유형 판별

📝 대표 기출문제

①[사이클로트론] 전자(m=9.1×10⁻³¹, e=1.6×10⁻¹⁹) B=0.1T, v=10⁷m/s → r=mv/(eB)≈5.7×10⁻⁴m

②[주파수] fc=eB/(2πm)=1.6×10⁻¹⁹×0.1/(2π×9.1×10⁻³¹)≈2.8GHz

③[홀전압] B=0.5T, I=10A, n=8.5×10²⁸/m³, d=1mm → Vh=BI/(ned) 계산