節点法 トラス わかりやすく
トラスはまっすぐな棒を両端でピンにつないだ骨組みです。三角形に組んだ橋や屋根を思い浮かべるとよく、棒はピンでつながっていて溶接で固めたものではなく、荷重は節点にだけかかるので、各棒は二力部材になります。自分の長さの方向に引くか押すかしかできず、この一つの事実がトラスを簡単にします。節点法はこれをそのまま使います。ピンでトラスを切り離し、節点を一つずつ見ます。一つの節点ではすべての棒の力と外力が一点に集まるので、その節点はただのつりあい状態の粒子で、すでに知っている ΣFx=0、ΣFy=0 のままです。一つの節点を解き、その棒の力を次の節点へ渡しながら構造全体を横切るやり方です。まず各棒がなぜ自分の線の方向にだけ力を受けるかから見ます。
方法全体が棒の一つの性質に寄りかかります。棒を一つ選ぶと、トラスの棒は両端がピンでつながり途中に荷重がないので、ピンごとに一つ、ちょうど二つの力だけが作用します。その二つの力が釣り合うには、つまり棒で ΣF=0 かつ ΣM=0 であるには、大きさが等しく向きが逆で、二つのピンを結ぶ線の上になければなりません。だからトラスの棒にできるのは自分の軸方向に押すか引くかだけで、はりのように横方向の力や曲げモーメントは受けられません。トラスがこれほど効率的で解きやすい理由がこれで、棒一つひとつが未知数たった一つ、つまり中の軸力に縮むからです。
棒の軸力は二種類で来ます。二つを切り替えると、両端の力が棒を外へ引いて棒が伸びるのが引張で正とし、内へ押して棒が縮むのが圧縮で負とします。ニュートンの第3法則により、棒は節点に等しく逆向きの力で押し返すか引き返すので、節点では向きがひっくり返り、引張部材は節点を自分の方へ引き、圧縮部材は節点を押し出します。節点を描くときのコツは、未知の棒をすべて引張と仮定し、矢印を節点から離れる側へ、棒に沿って描くことです。計算値が負になればその棒は実は圧縮なので、符号に決めさせれば向きを推測しなくて済みます。
ここで節点を一つ切り離します。一つ選び、節点で交わる棒を切ると、切った棒はそれぞれ自分の軸力を残し、外力や支承反力もそこに作用します。これらの力は全部節点を通り一点に集まるのでモーメントの式は使うものがなく、節点はただの粒子なので、つりあいの粒子が従う ΣFx=0 と ΣFy=0 の二式だけが残ります。だから未知の棒の力が多くても二つの節点を解けます。頂上の節点 C を見ると、荷重は下へ押し、二つの斜め棒が上へ、外へ押して支え、未知数二つに式二つなので解けます。トラス全体は、この小さな問題を節点ごとに繰り返すだけです。
簡単な三角形トラスでまとめます。左にピン、右にローラー、頂上の節点に荷重が下がり、荷重をドラッグすると棒の力がどう応えるかが見えます。まず支承を見ると対称なのでそれぞれ荷重の半分を受け、鉛直反力はそれぞれ P2 です。次に頂上の節点へ行くと未知の棒は二つだけで、二つの斜材が荷重を支えるため上へ押さなければならず、どちらも圧縮でそれぞれ P(2 sinθ) です。支承の節点へ下りると、斜材の水平の押しを下の棒が受けねばならず、その棒はぴんと引かれる引張、P(2 tanθ) です。パターンが見え、斜材は押され下弦材は伸び、荷重をより大きくドラッグするとすべての力が正確に比例して大きくなります。
最後のコツ一つが実際の手間を減らします。力をまったく受けない棒があり、二つの場合を切り替えると規則が見えます。第一に、棒が二つだけ交わり荷重のない節点で二つの棒が一直線でなければ、どちらも 0 でなければならず、違う方向を打ち消すものがないからです。第二に、二つの棒が一直線で第三が斜めに入る節点で荷重がなければ、一人の斜め棒が 0 で、一直線の二つの棒は力をそのまま通します。こういう零力部材を先に見つけると、計算を始める前に棒をパズルから外せます。これで節点法が完成し、反力を求め、未知数二つの節点から始め、ΣFx=0 と ΣFy=0 を書き、結果を一つずつ前へ渡し、対称と零力部材で手間を減らせば足ります。ここからは同じ自由体の考えがフレームと機械全体へ広がります。