節点法: トラスを一節点ずつ解く
トラスは真っ直ぐな棒を両端でピン留めしてつないだ骨組みです。三角形で組まれた橋や屋根を思い浮かべてください。棒がピンで、溶接で固めたのではなく、つながり、荷重は節点にだけかかるので、各棒は二力部材になります。自分の長さ方向に引くか押すか以外、何もできません。この一つの事実がトラスを解きやすくします。節点法はこれをそのまま使います。ピンでトラスを切り離し、節点を一つずつ見ます。一つの節点では、すべての棒の力と外力が一点に集まるので、その節点はただの平衡状態の質点です。すでに知っているΣFx=0、ΣFy=0そのものです。一つの節点を解き、その棒の力を次の節点へ渡し、構造物全体を横切って進みます。まず、なぜ各棒が自分の線方向にだけ力を受けるかを見ましょう。
方法全体が棒の一つの性質に支えられています。棒を押して一つ選んでください。トラスの棒は両端がピンでつながり、途中に荷重がないので、二つの力だけが働きます。ピンごとに一つずつです。その二力がつり合うには、棒でΣF=0かつΣM=0であるには、大きさが等しく、向きが逆で、二つのピンを結ぶ線上になければなりません。だからトラスの棒にできることはただ一つ。自分の軸方向に押すか引くかです。梁のような横向きの力や曲げモーメントは受けられません。トラスがこれほど効率的で解きやすいのはこのためです。どの棒も未知数がただ一つ、すなわちその中の軸力に減るのです。
棒の軸力には二種類あります。二つを切り替えてください。両端の力が棒を外へ引けば棒は伸びます。それが引張で、正とします。内へ押せば棒は縮みます。それが圧縮、負です。ニュートンの第三法則により、棒は節点に等しく逆向きの力で押し返すか引き返すので、節点では向きが反転します。引張部材は節点を自分の方へ引き、圧縮部材は節点を押しのけます。節点を描くときのコツは、未知の棒をすべて引張と仮定することです。矢印は節点から遠ざかる向き、棒に沿ってです。計算値が負に出れば、その棒は実は圧縮です。符号に決めさせれば、向きを当てずに済みます。
では節点を一つ切り出します。一つ選んでください。節点で出会う棒を切ると、切った棒ごとに自分の軸力を残し、外力や支点反力もそこに働きます。これらの力はすべて節点を通ります。一点に集まるのです。だからモーメントの式は書くものがありません。節点はただの質点で、つり合った質点はΣFx=0とΣFy=0、二つの式に従います。つまり未知の棒の力が多くても二つの節点を解けます。頂点の節点Cを見てください。荷重は下へ押し、二本の斜め棒が上へ外へ押して支えます。未知数二つ、式二つ、解けます。トラス全体は、この小さな問題を節点ごとに繰り返すだけです。
簡単な三角形トラスでまとめましょう。左にピン、右にローラー、頂点の節点に荷重が下がっています。荷重をドラッグして棒の力がどう応じるか見てください。まず支点。対称なので各々が荷重の半分を受け、鉛直反力はそれぞれP2です。次に頂点の節点へ。未知の棒は二つだけです。二本の斜材がPを支えるため上へ押さねばならず、どちらも圧縮で、それぞれP(2 sinθ)です。支点の節点へ下りましょう。斜材の水平な押しを下の棒が受け止めねばならず、その棒はぴんと引かれます。引張、P(2 tanθ)です。パターンが見えます。斜材は縮められ、下弦材は伸ばされます。Pを大きくドラッグすれば、すべての力がきっかり比例して大きくなります。
最後のコツが実際の手間を省きます。力をまったく受けない棒があるのです。二つの場合を切り替えてください。一つ目、棒が二本だけ出会い荷重のない節点で、二本が一直線でなければ、どちらも0でなければなりません。別々の向きを打ち消すものがないからです。二つ目、二本の棒が一直線で三本目が斜めに入る節点で、荷重がなければ、斜めの一本が0で、一直線の二本は力をそのまま通します。こうした零力部材を先に見つければ、何かを計算する前に棒をパズルから外せます。これで節点法が仕上がります。反力を求め、未知数二つの節点から始め、ΣFx=0とΣFy=0を書き、結果を一つずつ前へ送り、対称性と零力部材で手間を削ります。ここから先は、同じ自由物体図の考え方がフレームや機械全体へ拡張します。