剛体のつり合いは力の和もゼロ、モーメントの和もゼロ
質点は点なので、力の和さえゼロなら静止していました。ところが橋やクレーン、机のように大きさのある物体、すなわち剛体は事情が違います。力がつり合っていても、対をなしてねじれば、くるりと回ってしまうのです。だから剛体が本当に静止するには、二つが同時に必要です。横にも上下にも押されないこと、そしてどちらにも回らないこと。式では力の和がゼロ、そしてモーメントの和もゼロです。平面ではこの二条件がちょうど三つの式に解けます。この三式が、橋の支点が押し上げる力のような、目に見えない反力を計算する鍵です。まずは力はつり合っているのに物体が回る場合から見ましょう。
長方形の剛体に、大きさが同じで向きが逆の二力が働きます。力の和を見ると、ちょうどゼロ。質点ならこれでつり合いです。ところがボタンを押して、二力を同じ線から外してみてください。合力は依然ゼロなのに、物体がくるくる回り始めます。偶力が生じてモーメントがゼロでなくなったからです。力はつり合っているのに、回転はつり合っていない。逆に二力を同じ作用線に置けば、モーメントもゼロになり、完全に止まります。だから剛体には条件がもう一つ付きます。力の和だけでなく、モーメントの和までゼロになって、はじめてつり合いです。
だから剛体のつり合いの条件は二行です。第一に、すべての力のベクトル和がゼロ。これは物体がどちらにも平行移動しないという意味。第二に、すべてのモーメントの和がゼロ。これはどの点を基準に取っても物体が回らないという意味です。中央の荷物Pを二つの支点が支えています。二つの反力R1とR2を調節して、上の力ゲージと下のモーメントゲージを同時にゼロに合わせてみてください。片方だけゼロではだめ。力だけゼロならその場で傾き、モーメントだけゼロなら丸ごと滑ります。両方ゼロのとき、そのときだけ、剛体は本当に静止します。
ベクトルで書いた二条件を、平面では成分で解いて三つのスカラー式に変えます。力の和がゼロは横と縦に分かれてΣFx = 0、ΣFy = 0の二式になり、モーメントの和がゼロはΣM = 0の一式になります。合わせてちょうど三式。斜めの荷重の角をドラッグすると、ピンとローラーが生む三つの反力が、三式を常に満たすように追って動きます。式が三つあることはとても重要です。未知数をちょうど三つまで解けるという意味だからです。質点は式が二つで未知数二つでしたが、剛体は回転の式が一つ増え、未知数三つまで扱えます。モーメント式の基準点はどこに取ってもよいですが、未知の力が多く通る点を選ぶと式が簡単になります。
いよいよ三式の本当の威力を見ます。二つの支点の上に載った単純梁の、真ん中ではなく片側に寄せて荷重Pが載っています。二つの支点が押し上げる力、すなわち反力R1とR2はいくらでしょう。つり合いの式からすぐ出ます。左の支点を基準にモーメントの和をゼロと置くと、その点を通るR1は式から消え、R2が一発で解けます。次に縦の力の和ゼロからR1を求めます。荷重の位置をドラッグしてみてください。Pがどちらかの支点に近づくほど、その側の反力が大きくなります。シーソーとまったく同じ理屈。重い荷物を片側に寄せれば、その脚がより多く支えます。
最後に、三式で解ける未知数はちょうど三つまで、という限界を押さえます。支点が生む未知反力の数を、三という式の数と見比べるのです。ボタンで支点の構成を変えてみてください。ピンとローラーで支えた単純梁は未知数が三つなので、三式できれいに解けます。これを静定と呼びます。ピンを両端に置くと未知数が四つになり、式が足りません。これは不静定で、つり合いの式だけでは解けず、材料の変形まで考える必要があります。逆に支点が足りず未知数が二つ以下なら、物体が動いてしまう不安定な構造、すなわちメカニズムです。よい構造設計の出発点が、まさにこの数合わせです。