剛体のつり合い わかりやすく
粒子は点なので、力の和が 0 ならじっとしていました。橋やクレーン、机のように大きさのある物体、つまり剛体は事情が違い、力が釣り合っていても対になってねじるとくるくる回ってしまいます。だから剛体が本当に止まっているには、横にも上下にも押されないこと、そしてどちらへも回らないこと、この二つが同時に要ります。式では力の和が 0、そしてモーメントの和も 0 です。平面ではこの二つの条件がちょうど三つの式に解け、この三つの式が橋の支承が支える力のような見えない反力を計算する鍵です。まず力は釣り合っているのに物体が回る場合から見ます。
長方形の剛体に大きさが等しく向きが逆の二つの力が作用します。力の和を見るとちょうど 0 なので、粒子ならこれでつりあいですが、ボタンで二つの力をずらすと合力はなお 0 なのに物体がくるくる回り始めます。偶力が生まれてモーメントが 0 ではなくなったからで、力はつりあいでも回転はつりあいではありません。逆に二つの力を同じ作用線に置くとモーメントも 0 になって完全に止まります。だから剛体には条件が一つ増え、力の和だけでなくモーメントの和まで 0 であって初めてつりあいです。
だから剛体のつりあい条件は二行です。第一にすべての力のベクトル和が 0 で、これは物体がどの方向へも平行移動しないという意味です。第二にすべてのモーメントの和が 0 で、これはどの点を基準にしても物体が回らないという意味です。真ん中の荷重 P を二つの支承が支え、二つの反力 R1 と R2 を調節して上の力ゲージと下のモーメントゲージを同時に 0 に合わせます。片方だけ 0 では足りず、力だけ 0 ならその場で傾き、モーメントだけ 0 なら全体が滑ります。両方 0 のとき、そしてそのときだけ剛体は本当に静止します。
ベクトルで書いた二つの条件を、平面では成分にほどいて三つのスカラー式に変えます。力の和が 0 は横と縦に分かれて ΣFx = 0、ΣFy = 0 の二式になり、モーメントの和が 0 は ΣM = 0 の一式なので、合わせてちょうど三式です。斜め荷重の角をドラッグすると、ピンとローラーが作る三つの反力が三式をいつも満たすように動きます。式が三つというのは未知数をちょうど三つまで解けるという意味で、とても大切です。粒子は式が二つで未知数も二つでしたが、剛体は回転の式が一つ増えて未知数三つまで担います。モーメント式の基準点はどこに取ってもよいですが、未知の力がたくさん通る点を選ぶと式が簡単になります。
ここで三式の本当の力を見ます。二つの支承の上に載った単純ばりの真ん中ではなく片側に寄って荷重 P が乗っていて、二つの支承が支える反力 R1 と R2 はつりあい式からすぐ出ます。左の支承を基準にモーメントの和を 0 と置くと、その点を通る R1 は式から抜け、R2 が一気に解け、次に縦の力の和 0 から R1 を求めます。荷重の位置をドラッグすると、荷物がどちらの支承に近づくほどそちら反力が大きくなります。シーソーと同じ理屈で、重い荷物を片側に寄せるとそちらの脚がより多く支えます。
最後に、三つの式で解ける未知数はちょうど三つまでという限界を押さえます。支承が生む未知反力の個数を三式の個数と見比べるもので、ボタンで支承の構成を変えると違いが出ます。ピンとローラーで支えた単純ばりは未知数が三つなので三式できれいに解け、これを静定といいます。ピンを両端に置くと未知数が四つになって式が足りず、これは不静定なのでつりあい式だけでは解けず材料の変形まで考えます。逆に支承が足りず未知数が二つ以下なら物体が動いてしまう不安定な構造、つまりメカニズムです。よい構造設計の出発点が、まさにこの個数合わせです。