質点のつり合いは力の和がゼロの状態だ
綱引きで両側が同じだけ引くと、結び目はその場で止まっています。力がないからではなく、力どうしが完全に打ち消し合うからです。一点に集まった複数の力の合力がちょうどゼロなら、その点は動きません。これが質点のつり合いです。ここで質点とは、大きさを無視して一点と見た物体のこと。回転は考える必要がなく、ただ力の和だけを問えばよい。合力がゼロという一行の条件が、平面では横の和ゼロ、縦の和ゼロという、すっきりした二つの式になります。この二式で、私たちは未知の力、たとえばケーブルの張力を解き明かします。まずは力を一つ動かして、結び目がいつ釣り合いを失うかを見てください。
一点に複数の力がいっぺんに働く状況を見ます。この点を質点と呼びましょう。前の講で見たように、これらの力は合わさって一つの合力Rになります。Rがゼロでなければ、質点はそのRの方向へ押しやられます。一本の矢印が残って点を引きずるわけです。力を一つ回してみてください。合力Rがあちこちに変わるのが見えるはず。Rが大きいほど強く押されます。つり合いとは、まさにこの残った矢印が消える瞬間、Rがゼロになる瞬間です。次の場面でそれを絵で確かめます。
力を頭-尾でずっとつなぐと、合力は最初の尾から最後の頭までの矢印でした。では合力がゼロとは、どういう意味でしょう。最後の頭が、ちょうど最初の尾に戻ってくるということです。つまり矢印が隙間なく閉じた多角形をつくります。最後の力の頭をドラッグして、多角形を閉じてみてください。閉じずに開いた隙間こそ合力で、その隙間がゼロに縮めばつり合いです。だからつり合った力は、いつも尾に尾を継いで元に戻る閉じた輪を描きます。これがつり合いの絵バージョンです。
絵で閉じたかを目で見るのは直感的ですが、計算では成分で考えるのが正確です。合力がゼロであるには、合力の横成分もゼロ、縦成分もゼロでなければなりません。だからつり合い条件一つが、二つの式に分かれます。ΣFx = 0 と ΣFy = 0。すべての力の横成分を足せばゼロ、縦成分を足せばゼロ。F3の角と大きさを動かして、二つの合計を同時にゼロに合わせてみてください。両方がゼロになるとき、そのときだけ質点はつり合います。平面問題で未知数をちょうど二つまで解けるのは、これが理由です。式が二つだからです。
いよいよつり合いの本当の使いどころです。ふつう私たちはいくつかの力を知っていて、未知の力を一つ求めなければなりません。つり合うという事実が、その答えを決めてくれます。既知の力の合力がRなら、未知の力はちょうどその反対、つまり-Rでなければ全体の和がゼロになりません。この-Rを平衡力と呼びます。既知の二力F1、F2を見てください。つり合わせる未知力F3が自動で描かれます。F1を回すと、それに合わせてF3の大きさと向きが追って変わります。いつもF3 = -(F1 + F2)。成分で書けばF3x = -ΣFx、F3y = -ΣFy。未知の力をこうしてぴたりと突き止めるのです。
具体的な例で締めくくりましょう。重さWの荷物が二本のケーブルにぶら下がっています。結び目が質点で、そこには三つの力が働きます。真下に引く重さW、そして二本のケーブルに沿って斜め上に引く張力T1、T2。結び目が静止しているのでつり合い、つまり三力の和がゼロです。二つの式を立てればよい。横はT1とT2の水平成分が互いに打ち消し合い、縦は二つの張力の垂直成分の和が重さWに等しくなければなりません。右のケーブルの角をドラッグしてみてください。角が浅くなるほど、つまりケーブルが水平に近づくほど、張力が急激に大きくなります。物干し綱をぴんと張るほど切れやすい理由、吊り橋のケーブルが太い理由が、まさにこれです。