力のベクトル 分解 わかりやすく
力を紙に描く方法は矢印一つです。長さが大きさで、頭が向く方が方向なので、力は数一つではなく大きさと方向を一緒に持つベクトルです。斜めの矢印は扱いにくいので、横にどれだけ、縦にどれだけと二つに分けます。これが成分に分けることで、斜めの力一つが水平の力と垂直の力の和と同じになる瞬間です。この技術が静力学全体を支え、つりあいでも構造でも結局は成分で解くからです。矢印を自分で動かすところから始まります。
矢印の頭をつかんで引くと、引いた分だけ矢印が長くなって力が大きくなり、頭を回すと方向が変わります。大きさと方向が別々に動き、大きさが同じでも方向が違えばまったく違う力です。5N で右を押すのと 5N で上を押すのでは結果がまったく違います。力を書くときは大きさだけでは足りず方向まで書き、ふつう水平から測った角で方向を表します。
斜めの矢印を二つに分けます。横にどれだけ押すかが x 成分 Fx、縦にどれだけ押すかが y 成分です。角を寝かせると Fx が大きくなり、立てると縦成分が大きくなり、そこに直角三角形が見えます。斜辺が力 F、底辺が Fx、高さが縦成分なので Fx = F cosθ、Fy = F sinθ、三角比そのものです。矢印一つを横の力と縦の力の二つに書き換えたのです。
逆もできます。横の力と縦の力を別々に定めると、二つが集まって斜めの力一つが戻り、スライダーを動かすとその過程が見えます。二つの力を長方形の二辺に置くと対角線が合力 F です。大きさはピタゴラスで F = √(Fx² + Fy²)、方向は θ = arctan(FyFx) です。分けることが一つを二つに割ることなら、集めることは二つを一つにすることです。いくつかの力を足すときは、それぞれを成分に分けてから横は横どうし、縦は縦どうし足し、最後にこうして戻します。
構造物は平面ではなく空間にあっても方法は同じです。横の Fx と縦に、奥行きの方向を一つ足せば足ります。三方向に力を積むと矢印が直方体の対角線になり、大きさは F = √(Fx² + Fy² + Fz²) です。2D のピタゴラスを 3D に伸ばしただけで、次元が増えても成分に分ける考えはそのままです。だから空間の力も x·y·z の三つの数で書けます。
方向だけを分けます。矢印から大きさを捨てて方向だけを残すと、長さがちょうど 1 の短い矢印になり、これを単位ベクトル u といいます。平面では u = (cosθ, sinθ) で、長さはいつも |u| = 1 なので、角を回しても頭は単位円の上を動きます。もとの力は方向に大きさを掛ければよいので F = F·u であり、方向は u が、大きさは前の数が担います。力の二つの情報を分けて書く方法で、方向が斜めのときに役立ちます。