静力学 わかりやすく
図心 求め方 わかりやすく
図心=釣り合い点・面積平均、対称軸上、x̄ = ΣAx/ΣA 重み付け平均、合成図形の分割、標準図形の図心
すべての面積にはただ一つの均衡点があります。面積の破片全体の平均位置である図心で、できれば対称から見つけ、そうでなければ面積で重みを付けた平均 x̄ = Σ(A x)Σ A で求めます。その一点が図形を支える場所です。
支点をドラッグすると、平らな図形は支えが図心の真下にあるときだけ均衡し、その外では傾きます。その均衡点が図心です。皿を指一本で支える場所と同じです。
図形を替えると対称の値打ちが分かります。対称軸は必ず図心を通るので、対称な図形は中心をただで教え、積分は要りません。軸を引けば点はすでに決まっています。
右の面積をドラッグすると、図心がどちらへ行くか見えます。図心は面積で重みを付けた平均 x̄ = Σ(A x)ΣA なので、いつもより大きい破片の側へ寄ります。重い側が平均を引き寄せます。
複雑な図形は単純な長方形に割ってからそれぞれの図心を見つけ、同じ加重平均で合わせます。寸法をドラッグすると全体の図心がそれに合わせて移るのが見えます。破片の和が全体の場所です。
いくつかは覚えておくと楽です。長方形は中心で、三角形は底辺から高さの 3分の1 で、半円は平らな辺より少し上で均衡し、切り替えるとそれぞれが見えます。この三つが合成の基本の破片です。
実際に使う図心は図形の均衡点、つまり面積の平均位置です。対称があれば即座に決まり、図心がいつもすべての対称軸の上にあるからです。そうでなければ面積で重みを付けた平均 x̄ = Σ(A x)ΣA, ȳ = Σ(A y)ΣA で求め、その値はより大きい破片の側へ寄ります。実際の図形は単純な部分に割り、長方形は中心、三角形は高さの 3分の1、半円は辺のすぐ上、そう合わせて扱います。まさにこの場所に分布荷重の合力が作用し、同じ面積を距離の二乗で重み付ける次の段階、断面 2 次モーメントへ続きます。
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