静力学
断面二次モーメント: 面積が軸からどれだけ離れているか
I = ∫y²dA 距離の二乗で重み付け、長方形 bh³/12、平行軸 Ic + Ad²、向きの効果、I形梁
断面二次モーメント I = ∫ y² dA は、形の面積が軸を中心にどう広がっているかを測り、各部分を軸までの距離の二乗で重み付けします。その二乗のため、軸から遠くに置かれた面積が桁違いに効き、それが丈夫な梁のすべての秘密です。
面積の小片を軸から遠ざけてください。Iへの寄与は A d² なので、距離を二倍にすると慣性は四倍。量より距離がはるかに効きます。
長方形を自分の図心軸まわりで見ると I = b h³12。高さ h が三乗なので、少し背が高いだけで格段に硬くなります。高さをドラッグして I が跳ね上がるのを見てください。
距離 d だけ離れた平行軸へ移すと、慣性は A d² 増えます。I = Ic + A d²。図心軸が常に最小値を与えます。d をドラッグしてください。
同じ長方形、二通りの向き。立てると面積が曲げ軸から遠ざかり、寝かせたときより I がはるかに大きい。面積は同じでも剛性は大違い。切り替えてください。
I形梁はこの発想を極限まで進めます。材料の大半を遠くのフランジへ追いやり、少ない面積で大きな I を得ます。同じ面積の中実バーと比べてください。切り替えを。
実際に使う断面二次モーメント I = ∫ y² dA は面積の各片を軸までの距離の二乗で重み付けするので、面積が「どれだけあるか」でなく「どれだけ遠いか」を測ります。長方形は図心まわりで I = bh³12 — 高さの三乗 — で、平行軸定理 I = Ic + A d² で他の軸へ移し、図心軸が常に最小です。合成断面は部分ごとに共通軸へ移して足します。梁が高く立ち、I形梁が存在する理由がこれです。面積を外へ押すと曲げ剛性を安く買えるのです。図心と二次モーメントを得たので、最後の一片は面が滑りに抵抗する摩擦です。
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