標本から測った値もゆらぐ
標本を一つ取って平均を出すと、数が一つ得られます。別の標本を取れば別の数が出ます。つまり標本から計算した統計量、ここでは標本平均そのものが、取るたびにゆれる確率変数です。このゆれにも法則があります。標本平均が取りうる値の分布を標本分布と呼び、その幅を標準誤差と呼びます。工業数学の normal-clt で多くの値を足すと釣鐘形になることを見たなら、ここではその平均が標本ごとにどれだけ散らばるのか、そして標本を大きくするとその散らばりがどう縮むのかを見ます。鍵となる式はただ一つ、標準誤差は σ を √n で割ったものです。この一行が、世論調査がなぜ数千人に聞くだけでよいのか、実験をなぜ何度も繰り返すのか、推定値の横につく ± がどこから来るのかを、すべて説明します。
ボタンを押して標本を取り直してみてください。同じ母集団から同じ大きさ n の標本を取っても、その平均 x̄ は毎回少しずつ違います。一度取れば一点、また取ればもう一点、こうして標本平均を積み重ねてヒストグラムに集めると、初めはでこぼこでも、だんだん真ん中が膨らんだ山の形に落ち着きます。この積み上がる分布こそが標本分布、標本平均という統計量が自ら描く分布です。大切なのは、測る対象である母平均は固定されているのに、それを推定する道具である標本平均はゆれる、という点です。そのゆれの形と幅を知ることが、この講のすべてです。
では二つの分布を並べて見ます。広く広がる灰色は個々の生データが散らばる様子で、その幅が母標準偏差 σ です。その上に細く立ち上がる青い分布は、大きさ n の標本の平均が散らばる様子で、はるかに密に中央へ集まります。平均を取る過程で大きい値と小さい値が互いに打ち消し合うため、平均は個々の値よりずっとゆれません。この狭い幅こそが標準誤差で、標準偏差 σ と名前は似ていてもまったく別の量です。σ は個体がどれだけ違うか、標準誤差はその個体の平均がどれだけ当てにならないかを語ります。スライダーで n を大きくすると、灰色はそのままで青だけがだんだん狭くなるのを確かめてください。
では、その幅を正確な式で押さえます。標準誤差は σ を √n で割ったものです。分母に n ではなく √n がある、これが核心です。スライダーで n を大きくすると、標準誤差は曲線に沿って下がりますが、初めは急に落ち、進むほどなだらかになります。n を4倍にして初めて標準誤差が半分になり、誤差を10分の1にするには標本を100倍集めねばなりません。この √n の壁のため、精度を上げるほど費用がかさみます。だからある点を越えると、標本を増やすより測定そのものを改善するほうが得です。データは多いほどよいが、その見返りが √n の速さでしか伸びないと知ることが、実戦の勘です。
ここまで母集団が釣鐘形だったので、少し甘く見てきたとも言えます。では、あからさまに片側へ偏った分布ならどうでしょう。ここの指数分布は 0 の近くに集まり、右へ長い尾を引く、まったく対称でない分布です。n が 1 のとき標本平均の分布は、この偏った原本そのままです。ところがスライダーで n を大きくすると、驚くことが起きます。源がこれほどゆがんでいても、標本平均の分布はだんだん左右対称の釣鐘形へ近づき、金色の正規曲線にぴたりと合います。これが中心極限定理の標本分布の顔です。normal-clt で値を足すと鐘になると見たなら、ここではその和を n で割った平均の分布が、原本の形に関係なく N(μ, σ/√n) に収束するのを見ます。だから母集団の形を知らなくても、標本平均だけは正規分布として扱えるのです。
最後に、標本サイズが標本分布に与える効果を直接重ねて見ます。灰色は小さい標本（n=4）の平均分布で、広く広がっています。青はスライダーで大きくする n の平均分布です。n を上げるほど青は細く高く立ち上がり、真の平均の周りに締まっていきます。二つの分布の中心は同じ μ で重なり、幅だけが σ/√n の速さで縮みます。これが実戦で意味することは明白です。標本が大きいほど、私たちの推定値は真の値により近く、より頻繁に落ちる、つまり推定がより精密になるということです。世論調査、臨床試験、品質検査が標本サイズを増やす理由が、まさにこの図です。ただし第3講で見たとおり、その見返りは √n でしか伸びないので、どこまで狭めれば十分かは常に費用と天秤にかけます。