推定に幅を持たせれば信頼区間になる
標本から得た点推定値は一つの数なので、真の値から少しずれている可能性がほぼ確実です。信頼区間はその不確かさを認める方法で、推定値の両側に誤差幅を付け、推定値 ± z·SE という範囲にします。難しいのは解釈です。95%の信頼とは、いま目の前のこの区間についての言明ではなく、標本を繰り返し取ったときにその手続きが真の値を捉える割合のことです。真の値は固定され、ランダムなのは区間の側です。五つの図で、誤差幅から区間を作る方法、繰り返しの区間の95%が真の値を覆う様子、信頼水準と幅の引き換え、n が大きくなると誤差が 1/√n で縮むこと、そして正しい解釈とよくある誤解を順に見ます。
信頼区間は点推定値から出発し、その両側に誤差幅を付けて作ります。誤差幅は z·SE で、倍率 z は信頼水準が決めます。90%なら z = 1.645、95%なら z = 1.96、99%なら z = 2.576 です。下の選択で信頼水準を変えると、同じ推定値の周りで括弧が広がり、固定された真の値は元の場所にとどまります。
この図こそが95%の本当の意味です。標本ごとに推定値が違うので、区間も毎回変わります。何度も引くと、そのうち約95%が固定された真の値を覆い、覆えなかった区間は赤で描かれます。多く引くほど、実際に覆った割合は信頼水準へ近づいていきます。真の値は一度も動かず、動いたのは区間の方です。
より大きな確信はただではありません。真の値をより頻繁に覆うには、より広く網を投げる必要があります。信頼水準を上げると曲線の下の中央の面積が増えると同時に、区間の幅 2·z·SE も伸びます。95%と99%では帯の幅がはっきり違い、この引き換えは避けられません。
誤差幅は z·σ/√n なので、標本が大きくなれば縮みますが、縮む速さは 1/√n だけです。これは標本分布で見たあの標準誤差と同じものです。精度を二倍にする、つまり誤差幅を半分にするには、標本を四倍にしなければなりません。収穫逓減は最初から式の中に組み込まれています。
最後は慎重な解釈です。繰り返せばこの手続きは95%の割合で真の値を捉える、という文は正しいです。しかし、この区間の中に真の値がある確率は95%だ、という文は誤りです。区間を一度引いてしまえば、固定された真の値はその中にあるかないかのどちらかです。確率はランダムな標本抽出という行為に宿るのであって、すでに実現した一つの区間に付くものではありません。