信頼区間 わかりやすく
標本から得た点推定値は一つの数なので、真値から少しずれている可能性がほぼ確実です。信頼区間は、その不確かさを認める方法です。推定値の両側に誤差範囲を付けて、推定値 ± z·SEという区間にします。難しいのは解釈です。95% 信頼とは、今この区間についての言葉ではなく、標本を繰り返し引いたときその手続きが真値を捕らえる割合です。真値は固定されていて、無作為なのは区間の側です。誤差範囲で区間を作る法、繰り返し標本で 95% が真値を覆う様子、信頼水準と幅の引き換え、標本が大きくなると誤差が 1/√nで減ること、そして正しい解釈とよくある誤解を順に見ます。区間が揺れ、真値はじっとしています。
信頼区間は点推定値から出発し、両側に誤差範囲を付けて作ります。誤差範囲 = z·SEで、倍率 z は信頼水準が決めます。90% なら z = 1.645、95% なら z = 1.96、99% なら z = 2.576 です。信頼水準を変えると、同じ推定値のまわりで括弧が広がり、固定された真値は元の場所にそのまま残ります。水準が括弧の幅を決めます。
この図が 95% の本当の意味です。標本ごとに推定値が違うので、区間も毎回変わります。何度も引いてみると、そのうち約 95% が固定された真値を覆い、覆えなかった区間は別の色で示されます。多く引くほど、実際に覆った割合が信頼水準へ収束します。真値は一度も動かず、動いたのは区間です。動く側は区間だけです。
より大きな確信はただではありません。真値をより頻繁に覆うには、より広く網を投げなければなりません。信頼水準を上げると、曲線の下の真ん中の面積が大きくなると同時に、区間の幅 2·z·SE も増えます。95% と 99% は目に見えて幅が開き、この引き換えは避けられません。確信が大きいほど網は広くなります。
誤差範囲は z·σ/√n なので、標本が大きくなると縮みますが、1/√nの速さでしか縮みません。標本分布で見たあの標準誤差と同じ値です。精度を二倍にするには、つまり誤差範囲を半分にするには、標本を四倍に増やさなければなりません。収穫が減ることは、初めから公式の中に入っています。精密は標本の四倍を要求します。
最後は慎重な解釈です。繰り返せばこの手続きが 95% の確率で真値を捕らえる、という文は正しいです。しかし、この区間の中に真値がある確率が 95% だという文は誤りです。区間を一度描いてしまうと、固定された真値はその中にあるか無いかのどちらかだからです。確率は無作為な標本抽出に宿るのであって、すでに実現した一つの区間に付くのではありません。すでに描いた区間には確率が残りません。