条件が付くと確率は変わる
確率は固定された数ではありません。新しい情報が一つ入った瞬間に、確率は計算し直されなければなりません。「雨の確率 30%」でさえ、空に黒い雲が集まるのを見た瞬間に変わります。条件付き確率とベイズの定理は、まさに「条件が付くと確率がどう変わるか」を扱う計算法です。ここでは標本空間を狭める直観から始め、信念を更新するベイズ、そしてまれな病気の検査という有名な逆説まで、視覚でたどります。
条件付き確率とは、何かを知った後の確率です。事象 B が起きたと分かれば標本空間は B に狭まり、その中で A が占める割合が新しい確率になります。だから P(A|B) = P(A∩B)/P(B) です。格子で条件 B をオンにして、分母がどう縮み確率が変わるか見ましょう。
ベイズの定理は、条件付き確率をひっくり返す道具です。仮説を最初にどれだけ信じていたか(事前確率)に、証拠がその仮説にどれだけ合うか(尤度)を掛けると、証拠を見た後の信念(事後確率)が得られます。つまり P(H|E) = P(E|H)P(H)/P(E) です。事前確率と尤度を動かして、信念がどう更新されるか見ましょう。
どれほど正確な検査でも、病気がまれだと落とし穴にはまります。健康な人が圧倒的に多いので、そのうちごく一部が誤って陽性になるだけで、その数が真の患者を上回ってしまうのです。その結果、陽性でも実際に病気である確率は低いままになります。これはベイズの定理がそのまま姿を現す古典的な例です。
確率の木は、事象が段階を追って起こる過程を枝として描いたものです。一つの経路に沿って枝の確率を掛け合わせると、その結末の結合確率になります。二番目の分岐は条件付きなので、前段階の結果によって値が変わります。すべての葉の確率を足すと、いつもちょうど 1 になります。
二つの事象が独立とは、一方が起きたと知っても、もう一方の確率がまったく変わらないということです。そのときにだけ P(A∩B) = P(A)P(B) が成り立ちます。従属ならこの掛け算は崩れます。面積で見れば、実際の A∩B ブロックが積で予測した点線の長方形と合うかずれるかで一目で判別できます。