梁のせん断応力 わかりやすく
C1 で梁のせん断 V を求めました。けれどもその V は断面全体が受ける合力にすぎず、断面の中でせん断応力がどう広がるかは別に見なければなりません。直感と食い違う結果が待っています。曲げ応力は表面で最も大きかったのに、せん断応力は正反対で、表面で 0、真ん中の中立軸で最大です。分布も直線ではなく放物線です。なぜこうなるのでしょう。梁の中で層どうしが水平に滑ろうとするからです。その滑りを止めるのが水平せん断で、その大きさを与える公式が τ = VQIt です。ここに Q という新しい客が登場し、その客が分布の形を決めます。
まず、なぜ水平せん断が生まれるかを見ます。薄い板を何枚もただ重ねて梁のように渡し、押すと、各板が別々にたわみ、端で互いにずれて階段のようにずれます。上層は前へ、下層は後ろへ滑ります。曲げが層のあいだに水平の滑りを作る証拠です。いまその板を糊でぴったり貼ったとします。もうずれることはできず、滑ろうとする力を糊、つまり断面の内部が受けなければなりません。それが水平せん断応力です。重ねた板と貼った梁を切り替えると、貼った梁の中には滑りを止める水平せん断が流れています。 貼ると滑りが力に変わり、その力が断面の中を流れます。それが核心です。
その水平せん断応力の大きさを与える公式が τ = VQIt です。ここには見事な事実が隠れています。ある点で水平に滑ろうとする度合いと、垂直断面で上下に滑ろうとする度合いはいつも等しく、これを共役せん断と呼びます。だからこの一つの式が、横断面のせん断応力もそのまま与えます。V は C1 で求めたその断面のせん断力で、I は断面二次モーメント、t はその高さでの断面の幅です。V を動かすと分布全体が V に比例して大きくなります。せん断力が大きくなればせん断応力も同じ割合で大きくなり、形はそのままに大きさだけが変わります。その形を決めるのが、残った一片の Q です。
Q は面積の1次モーメントです。言葉は難しく、意味は単純です。応力を見たい高さで断面を横に切り、その切断線より上の面積だけを取ります。その面積に、面積の重心から中立軸までの距離を掛けたものが Q です。Q = A′·ȳ′。切断線を動かして一番上で切ると、上の面積はほとんど 0 なので Q も 0 です。下へ下りて中立軸で切ると、上の面積は断面の半分ほどになり、腕の長さも十分で Q が最大になります。だから Q は中立軸で最も大きく、表面で 0 です。τ = VQIt で V、I は断面全体で固定され、t も長方形なら一定なので、せん断応力分布の形は Q がそのまま決めます。 上の面積が形を決めます。
ここで分布を描きます。Q が中立軸で最大、表面で 0 なので、長方形断面のせん断応力は放物線です。真ん中の中立軸で最も大きく、上下の表面へ行くほど穏やかに 0 へ落ちます。探針を上下に動かすと、その放物線が読めます。曲げと比べると頭に残ります。曲げ応力は深さに線形で、表面で最大、中立軸で 0 でした。せん断応力は正反対の放物線で、中立軸で最大、表面で 0 です。だから同じ梁でも、どこが危ないかが違います。曲げは外側の繊維を、せん断は中立軸の近くを心配しなければなりません。長い梁は曲げが、短く太い梁はせん断が支配します。 外側と真ん中が役割を入れ替えます。
これらすべてが、I ビームの形を説明します。τ = VQIt で t は分母なので、断面の幅が狭いところでせん断応力がぐっと大きくなります。I ビームは真ん中が薄いウェブで、上下が広いフランジです。V を動かして分布を見ると、広いフランジでは t が大きく応力が小さく、薄いウェブへ入る瞬間に t が減って応力が跳ねます。だからせん断はほとんどウェブが受けます。反対に曲げ応力は、中立軸から遠いフランジが引き受けます。役割が分かれます。フランジは曲げを、ウェブはせん断を担うのです。I ビームを設計するとき、ウェブはせん断で、フランジは曲げで別々に点検します。一つの断面に二つの講が一緒に入っているわけです。 ウェブとフランジが仕事を分けます。