梁断面の剪断は中立軸で最大になる
C1 で梁の剪断 V を求めました。ところがその V は断面全体が受ける合力にすぎず、断面の中で剪断応力がどう広がるかは別に見る必要があります。直感に反する結果が待っています。曲げ応力は表面で最大でしたね。ところが剪断応力は正反対で、表面で 0、真ん中の中立軸で最大です。しかも分布が直線ではなく放物線です。なぜこうなるのか。核心は、梁の中で層どうしが水平に滑ろうとすることにあります。その滑りを止めるのが水平剪断で、その大きさを与える式が τ = VQIt です。ここで Q という新しい客が登場し、それが分布の形を定めます。
まず、なぜ水平剪断が生じるのか。薄い板を何枚かただ重ねて梁のように渡し、押したらどうなるでしょう。各板が別々に曲がり、端で互いにずれて階段のように滑ります。上の層は前へ、下の層は後ろへ滑るんです。曲げが本質的に層の間に水平の滑りを作る証拠です。では、その板をしっかり接着したとしましょう。もうずれられません。代わりに、その滑ろうとする力を接着、つまり断面の内部が受け止めねばなりません。それがまさに水平剪断応力です。ボタンで重ねた板と接着した梁を切り替えてみてください。接着した梁の中には、滑りを止める水平剪断が流れています。
その水平剪断応力の大きさを与える式が τ = VQIt です。ここには素敵な事実が隠れています。ある点で水平に滑ろうとする度合いと、垂直な断面で上下に滑ろうとする度合いは常に等しい。共役剪断と呼びます。だからこの一つの式が横断面の剪断応力もそのまま与えます。V は C1 で求めたその断面の剪断力、I は断面二次モーメント、t はその高さでの断面の幅です。V をドラッグしてみてください。分布全体が V に比例して大きくなります。剪断力が二倍なら剪断応力も二倍。形はそのままで大きさだけ変わります。その形を定めるのが残りの一片、Q です。
Q は面積の一次モーメントです。名前は難しそうですが、意味は単純です。応力を見たいその高さで断面を横に切り、その切断線の上側の面積だけ取り出します。その面積に、面積の重心から中立軸までの距離を掛けたものが Q です。Q = A′·ȳ′。切断線をドラッグしてみてください。一番上で切ると上側の面積がほぼ 0 なので Q もほぼ 0。下りて中立軸で切ると、上側の面積が断面の半分もあり腕の長さも十分で、Q が最大になります。だから Q は中立軸で最大、表面で 0 です。τ = VQIt で V、I は断面全体で固定、t も長方形なら一定なので、結局剪断応力分布の形は Q がそのまま定めます。
では分布を描いてみましょう。Q が中立軸で最大、表面で 0 なので、長方形断面の剪断応力は放物線です。中央の中立軸で最も大きく、上下の表面に向かって滑らかに 0 へ落ちます。探針を上下に動かすと、その放物線が読めます。ここで曲げと比べると頭に焼きつきます。曲げ応力 σ は深さに線形、表面で最大、中立軸で 0 でした。剪断応力 τ は正反対で放物線、中立軸で最大、表面で 0。だから同じ梁でも、どこが危ないかが違います。曲げは外側の繊維を、剪断は中立軸の近くを心配すべきです。ふつう長い梁は曲げが、短く太い梁は剪断が支配します。
これらすべてが、なぜ I 形鋼があの形なのかを説明します。τ = VQIt で t は分母です。だから断面の幅が狭い所で剪断応力が一気に大きくなります。I 形鋼は中央が薄いウェブ、上下が広いフランジです。V をドラッグして分布を見てください。広いフランジでは t が大きく τ が小さく、薄いウェブに入った瞬間 t が急に減って τ が跳ね上がります。だから剪断はほとんどウェブが受けます。逆に曲げ応力は中立軸から遠いフランジが引き受けます。役割分担が完璧です。フランジは曲げを、ウェブは剪断を。だから I 形鋼の設計ではウェブを剪断で、フランジを曲げで別々に点検します。一つの断面に二つの講がまとめて詰まっているわけです。