軸のねじり わかりやすく
自動車の駆動軸、ドライバーで締めるねじ、発電機の回転軸。これらは引っ張られるのではなく、ねじられます。軸をねじると、中で何が起きるのでしょう。前に見た引張の話がほとんどそのまま繰り返されますが、決定的な違いが一つあります。ねじりでは応力が位置ごとに違います。中心はほとんど動かず、外側の表面がいちばん強くねじれて、せん断応力が半径に正比例して大きくなります。τ = TρJ がそれを言います。ねじり角は φ = TLGJ で、B1 の δ = PLAE と文字だけを変えた双子です。この半径への依存一つが、重い軸の中を空にしてもよいかまで説明してくれます。
まずねじりが何かを見ます。一方の端を固定し、反対側にトルク T を与えてねじると、断面が互いに回転します。固定された端は動かず、自由な端がいちばん多く回り、端と端の回転の差がねじり角です。表面に長く引いた直線は、ねじるほどらせんに傾きます。大事なのは、断面そのものが平らなまま残り、丸い形もそのままだということです。円形断面は、その場で回るだけで、たわんだりゆがんだりしません。このきれいな性質のおかげで、ねじりはとても単純な公式にまとまります。
ここで核心の洞察です。断面がまるごと回るということは、中心から遠いほどより多く動くという意味です。同じ角度だけ回っても、半径の大きい点ほど弧の長さが長いからです。だからせん断変形は半径に正比例します。中心では変形が 0 で、表面で最大です。ねじりを大きくすると中心線はそのまま横たわり、外側の縦線ほどより急に傾きます。これがねじりの全部です。変形が半径に沿って線形に広がること。引張では断面全体が同じように伸びましたが、ねじりは位置によって違い、まさにこの違いが次の応力の分布を決めます。 位置が、次の分布を決めます。
せん断変形が半径に比例すれば、フックの法則 τ = G·γ によってせん断応力も半径に比例します。中心で 0、表面で最大です。式に書くと τ = TρJ です。T はねじりトルクで、見たい位置の半径があり、J は断面の極慣性モーメントという幾何の値です。J は引張の面積 A の場所に来ますが、違いがあります。A はただの広さですが、J は面積に半径の二乗を掛けて積分したものなので、外側の材料がずっと大きく寄与します。T を動かすと、応力の分布は真ん中が低く表面が高く、三角形のように線形に大きくなります。だからねじりの破損は、いつも表面から始まります。
ここで軸がまるごとどれだけ回るか、ねじり角を見ます。φ = TLGJ です。B1 の δ = PLAE と並べると対応が見えます。力 P の場所にトルク T、長さ L はそのまま、面積 A の場所に極慣性モーメント J、そしてヤング率 E の場所にせん断弾性係数 G です。完全な一対一の対応です。トルクが大きいほど、軸が長いほどより多くねじれ、GJ が大きいほどあまりねじれません。だから GJ をねじり剛性と呼びます。T を動かすと、自由な端がその角度だけ回ります。引張で棒がばねだったように、ねじられる軸は、トルクを与えると角度で返すねじりばねです。
最後に、実務で最も役に立つ結論です。応力も変形も、中心の近くではほとんど 0 でした。中心の材料はねじりをほとんど支えず、重さだけを占めます。では中を空にしたらどうでしょう。内径を動かして中をくり抜きます。重さは半径の二乗で速く減りますが、剛性 J は半径の四乗なのでゆっくり減ります。だから真ん中をかなり空にしてもねじり剛性はほとんどそのまま残り、重さあたりの効率が大きく上がります。自転車のフレームも駆動軸もゴルフクラブも、みな中空の管である理由です。同じ重さでより硬く、または同じ剛性でより軽く。ねじりが半径に頼る性質がくれた贈り物です。 半径の性質が、この贈り物です。