梁に沿って V と M はどう変わるか
B3 で曲げ応力 σ = MyI を学びました。ところがその M、曲げモーメントは梁の位置ごとに違います。橋の真ん中と受けの近くが同じ負担を負うはずがありません。だから梁を設計するには、まず梁全体にわたって内力がどう分布するかを知る必要があります。内力は二つ。面を滑らせようとする剪断 V、そして曲げようとするモーメント M。この二つを梁の長さに沿って描いたのが剪断力線図と曲げモーメント線図、略して V・M 線図です。驚くのは、二つが別々ではないこと。M の傾きがまさに V で、V の傾きが分布荷重です。そしてこの線図で M が最大の一点、それが梁の折れる場所です。
まず舞台を整えます。両端を受けで支えた単純支持梁に、点荷重を一つ載せます。荷重を支えるには二つの受けが上に押し上げねばならず、その力が反力です。平衡条件が反力を定めます。上下の力の和が 0、そしてどの点まわりの回転の和も 0。すると荷重に近い受けが多く受け持つ、という直感的な結果が出ます。荷重の位置をドラッグしてみてください。荷重を左へ動かすと左の反力が大きくなり右が小さくなります。正確には R1 = P(L−a)L、R2 = P·aL。この反力を先に求めておくのが、すべての梁解析の出発点です。
では A1 でやった仮想切断をもう一度持ち出します。梁をある位置で心の中で切り、左の塊だけ取り出します。この塊が平衡を保つには、切った面に二つの内力が要ります。上下の力を釣り合わせる剪断 V、そして回転を止めるモーメント M です。左の塊にはたらく力、つまり反力とそこまでに掛かった荷重を集めて平衡を書けば、その場の V と M がぴたりと出ます。切断位置をドラッグしてみてください。切る所を動かすたびに V と M が変わります。これこそ核心です。内力は位置の関数。切った断面ごとに違う V(x)、M(x) を持つのです。
一か所で切る代わりに、切断を梁の端から端までずらしながら V を記録すると、そのグラフが剪断力線図です。点荷重だけの梁では形がとても単純です。荷重と荷重の間では V が一定で、荷重を通る瞬間にその荷重の大きさだけ落ちます。階段状です。荷重の位置をドラッグしてみてください。左の区間は +R1 の高さ、右は −R2 の高さで、荷重点で P だけジャンプするのが見えます。この階段の面積が実はモーメントにつながりますが、それは次の場面で。まずは V 線図を受けと荷重が作る階段だと覚えればよいです。
次はモーメント線図です。単純支持梁に点荷重なら、M は両端で 0、荷重点で尖った頂点を打つ三角形です。ところが V 線図と並べて見ると隠れた規則が見えます。M の傾きがまさに V です。dM/dx = V。V が正の左区間では M が一定の傾きで上がり、V が負の右では下がります。そして V が 0 になる点、ここでは荷重点ですが、そこで M が頂点を打ちます。荷重の位置をドラッグしてみてください。V の階段が動くと M の三角形の頂上も一緒に動きます。この関係のおかげで、V さえ分かれば積分で M を描けます。V 線図の面積が M の変化量だからです。
では、これらすべてがなぜ重要かです。B3 で曲げ応力は σ = MS、モーメントに比例しました。だから梁で最も危険な所は M が最大の場所です。そこで応力が最大なので、先に降伏したり折れたりします。V・M 線図を描く本当の理由がこれです。その最大の M ひとつを見つけるため。その値さえ分かれば、σmax = MmaxS で断面が耐えるかどうかをすぐ判定できます。荷重の位置をドラッグしてみてください。頂点が一緒に動き、荷重がちょうど中央のとき Mmax が最大になります。だから設計者は最悪の荷重位置を仮定して Mmax を取り、それに合わせて断面を選びます。線図のその一点が、梁全体の運命を定めます。