せん断力図 曲げモーメント図
前の講で曲げ応力 σ = MyI に会いました。けれどもそのモーメントは、梁の位置ごとに違います。橋の真ん中と支点の近くが同じ負担を担うはずがありません。梁を設計するには、まず梁全体で内力がどう広がるかを知る必要があります。内力は二つです。面に沿って滑らせようとするせん断 V、そして曲げようとするモーメント M。この二つを梁の長さに沿って描いたのが、せん断力図と曲げモーメント図、略して V·M 図です。二つは別々に動くのではありません。M の傾きがまさに V で、V の傾きが分布荷重です。図で M が最も大きい一点、そこが梁の折れる場所です。B3 の応力が、ここで初めて梁全体の話になります。
まず舞台を作ります。両端を支点で支えた単純梁に、点荷重を一つ載せます。荷重を支えるには二つの支点が上へ押し返す必要があり、その力が反力です。平衡が反力を決めます。上下の力の和が 0 で、どの点についての回転の和も 0 です。すると荷重に近い支点がより多く受ける、という結果が出ます。荷重を左へ動かすと左の反力が大きくなり、右は小さくなります。正確には R1 = P(L−a)L、R2 = P·aL です。この反力を先に求めておくことが、すべての梁の解析の出発点です。 近い支点がより受けるのが、平衡の結果です。
ここで、前にやった仮想切断を再び取り出します。梁をある位置で心の中で切り、左側の断片だけを見ます。この断片が平衡を保つには、切った面に内力が二つ要ります。上下の力の釣り合いを取るせん断 V、そして回転を止めるモーメント M です。左側の断片に掛かる力、つまり反力とそこまでに載った荷重を集めて平衡を書くと、その場所の V と M が出ます。切断位置を動かすと、切る場所を移すたびに V と M が変わります。内力は位置の関数なので、切った断面ごとに違う V(x)、M(x) を持ちます。A1 の切断が、梁ではこうして長さに沿って歩きます。
切断を一か所ではなく、梁の始めから終わりまで動かしながら V を記録すると、そのグラフがせん断力図です。点荷重だけの梁では形が単純です。荷重と荷重のあいだでは V が一定で、荷重を過ぎる瞬間にその荷重の分だけ落ちる階段です。荷重の位置を動かすと、左の区間は +R1 の高さ、右の区間は −R2 の高さで、荷重点で P だけ跳ぶのが見えます。この階段の面積がモーメントとつながりますが、それは次の場面で見ます。まずはせん断図を、支点と荷重が作る階段だと覚えておけば足ります。V の跳びが、荷重の場所です。
ここでモーメント図です。単純梁に点荷重なら、M は両端で 0 で、荷重点で尖った頂点を打つ三角形です。せん断図と並べると、隠れた規則が見えます。M の傾きがまさに V です。dM/dx = V。V が正の左側では M が一定の傾きで上がり、V が負の右側では下ります。そして V が 0 になる場所、ここでは荷重点で M が頂点を打ちます。荷重の位置を動かすと V の階段が動き、M の三角形の頂もついて動きます。この関係のおかげで、V だけ知れば積分で M を描けます。V 図の面積が M の変化だからです。 傾きの符号が変わると、頂ができます。そこが頂点です。
これらが大事なのは、前の講の曲げがあるからです。B3 で曲げ応力は σ = MS、モーメントに比例していました。だから梁で最も危ない場所は、M が最も大きい場所です。そこで応力が最大になり、先に降伏するか折れます。V·M 図を描く本当の理由がこれです。その最大の M 一つの値を探すのです。その値だけ知れば、σmax = MmaxS で断面が耐えるかすぐ判定できます。荷重の位置を動かすと頂点がついて動き、荷重がちょうど中央のとき Mmax が最も大きくなります。設計者は最悪の荷重位置を仮定して Mmax を取り、それに合わせて断面を選びます。図のその一点が、梁全体の運命を決めます。 その一点が、梁の運命を決めます。