主応力 わかりやすく
D1 で要素を回すと、垂直応力とせん断応力が一緒に揺れました。その揺れの中に、とても特別な角が一つありました。せん断応力がちょうど 0 になる角です。その面を主応力面と呼び、そこに掛かる垂直応力を主応力と呼びます。まさにその角で垂直応力が最も大きくなるからです。最も大きい主応力 σ1 と最も小さい σ2、この二つの数が、一点が耐えねばならない応力の両端です。複雑に揺れていた応力状態が、結局この二つの値に縮みます。そしてそこからちょうど 45 度回すとせん断が最大になり、それが最大せん断です。この講でその揺れを公式にまとめ、材料がその方向に壊れる理由まで続けます。面の向きが変われば、耐える値も一緒に変わります。
まず主軸がどこかを決めます。主応力面はせん断が 0 の面なので、変換式の τ′ を 0 と置いて角を解けばよいのです。すると tan2θp = 2τxy(σx−σy) が出て、この角が主軸の方向です。主軸が固定ではなく、応力状態とともに回るという点が大事です。せん断を大きくすると主軸はますます傾き、せん断が 0 なら主軸はただの x、y 軸のままです。主軸は、その応力状態が自ら決める自然な方向です。一点の応力を最も単純に見られる座標、せん断が消えて押しと引きだけが残る方向です。 せん断のないその方向が、その点の主軸です。
ここで主応力の値です。変換式に主角を入れて整理すると、驚くほどきれいな形が出ます。σ1,2 = (σx+σy)2 ± R。平均 (σx+σy)2 を中心に、半径 R だけ両側へ開いた二つの値です。ここで R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²) です。せん断を動かすと平均はそのままで、R が大きくなり、σ1 と σ2 が平均から両側へ離れます。せん断が大きければその点はそれだけ荒い応力状態で、主応力の幅もそれだけ広がります。この平均 ± 半径の構造は、どこかで見たようではないですか。一点を中心に半径だけ離れた二点、これが次の講のモールの円へまっすぐ続きます。 幅が広いほど、その点はより荒い状態です。
主応力面を見つければ、最大せん断面はただでもらえます。いつも主応力面からちょうど 45 度離れた場所だからです。左は主応力要素です。せん断の矢印はなく、σ1 と σ2 だけが面を押したり引いたりします。右はそこから 45 度回した最大せん断要素で、大きなせん断の矢印があり、垂直応力は両面とも平均値 (σx+σy)2 に等しいです。その最大せん断の大きさは τmax = R = (σ1−σ2)2 で、主応力の幅を半分に割った値です。せん断を動かすと二つの要素が一緒に育ちます。一点の応力は二つの顔を持ちます。せん断が消えて垂直応力が極端な主応力面と、45 度回ってせん断が極端な最大せん断面です。
これがなぜ大事かは、破損へ続けると明らかになります。材料ごとに弱点が違います。チョークや鋳鉄のような脆性材料は、引っ張る力、つまり垂直引張に弱いです。だから最大主応力 σ1 に垂直に割れ、引張試験片なら軸に横へ折れます。鋼のような延性材料は滑り、つまりせん断に先に降伏します。だから最大せん断面に沿い、主応力面から 45 度傾いた面に沿って滑りながら切れます。ボタンで二つを切り替えると、同じ引張なのに壊れる面の方向がまったく変わります。だから主応力 σ1 と最大せん断を両方求めなければなりません。どちらが危ないかは材料が決めるので、脆性なら σ1 を、延性なら最大せん断を限界と比べるのです。 材料の弱い側を先に見ます。
最後に全部を一枚に集めます。三つの応力が与えられたら、まず半径 R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²) を求めます。すると主応力は σ1,2 = (σx+σy)2 ± R、主角は tan2θp = 2τxy(σx−σy)、最大せん断は τmax = R です。この四行で、一点の応力状態は完全に解けます。せん断を動かしながら四つの値がどう一緒に動くかを見ると、R がすべてを束ねる核心であることが現れます。R が大きくなると、主応力の幅も最大せん断も一緒に大きくなります。これらの公式は暗記して使うと、符号と角度で間違いが出ます。だから次の講ではこの四行を一つの絵に変えるモールの円を学びます。平均を中心に半径 R の円の上で、すべての変換が回転になる道具です。 四行が一点の答えを一つに集めます。