一方向に伸ばすと垂直方向は縮む
輪ゴムを長く引っ張ると、伸びると同時に真ん中が細くなるのが見えます。一方向に引いただけなのに、それと垂直な方向はひとりでに縮みます。これはゴムだけのことではありません。金属も、コンクリートも、ほとんどの材料がこうなります。程度が違うだけです。この横の縮みと縦の伸びの比を、ポアソン比 ν と呼びます。材料ごとに決まったもう一つの固有定数です。小さく見える効果ですが、体積が変わるかどうか、そして前に見た E と G がどう一つの式で結ばれるかまで、意外なほど深くつながります。A の流れの最後のピースです。
まず効果そのものを見ます。棒を長く引いてみてください。長くなるにつれ、横幅がそっと狭くなります。点線が元の形で、引くほど細くなります。直感的には少し変です。横には何の力もかけていないのに、なぜ横が縮むのでしょう。材料を細かく見ると、長く伸びようと原子が軸方向に広がりながら、横方向には互いに引き寄せられてくるんです。一方向に長くなるには、もう一方から肉を借りてくるわけです。伸ばすと狭くなる、これがポアソン効果の第一印象です。
では効果に数を与えます。縦に伸びたひずみを εaxial、横に縮んだひずみを εlateral と呼びます。横は縮むので符号が逆、負です。ポアソン比は、この二つの比にマイナスの符号をつけたものです。ν = − εlateralεaxial。マイナスをつけるのは、横ひずみがもともと負なので、ν をきれいな正の数にするためです。εaxial をドラッグしてみてください。縦に伸ばすと横はその 0.3 倍だけ縮みます。比率は常に一定。強く引いても ν は変わりません。ν はひずみの大きさではなく、材料が持つ性質だからです。
ここで面白い質問。伸びながら横が縮むなら、体積はどうなるでしょう。二つが相殺してそのままでしょうか。計算すると、体積変化率はおよそ ΔVV ≈ ε(1 − 2ν) です。ν をドラッグしてみてください。ふつうの材料は ν が 0.5 より小さいので、引くと体積がわずかに増えます。横の縮みが縦の伸びを食い尽くせないんです。ところが ν がちょうど 0.5 になると、1 − 2ν が 0 になり体積はまったく変わりません。これが非圧縮性です。ゴムがこれに近く、伸ばしても絞っても体積はほぼそのまま。ν が 0.5 を超えられないのもこのためです。超えると、引いたのに体積が縮むという奇妙なことが起きます。
ν の値は材料ごとに違います。ボタンで切り替えてみてください。ほとんどの金属は ν が 0.3 あたり。鋼、アルミ、銅もみな同じくらいです。だから試験で値が与えられなければ、金属は 0.3 とするのがふつうです。反対の端にはゴムがあります。ν が 0.5 に近く、引くと横が大きく縮みます。ほぼ非圧縮性です。そして面白いのがコルクです。ν が 0 に近く、引いても横がほとんど縮みません。だからコルク栓を瓶に押し込むとき、横に膨らまずにうまく入るんです。ν はこうして 0 から 0.5 の間に収まります。
最後に、ν がなぜ重要かを示す一撃。さきほど引張剛性 E と剪断剛性 G を別々に見ました。ところが等方性材料では、この二つは独立ではありません。ν が二つを結びます。G = E(2(1 + ν))。ν をドラッグしてみてください。E を固定しても、ν が G を定めてしまいます。金属のように ν が 0.3 なら G は E のおよそ 0.385 倍、つまり鋼の E 200 GPa に対し G はおよそ 77 GPa です。この式のおかげで、三つのうち二つを知れば残り一つは自動的に出ます。E、G、ν は、実は自由度が二つしかない一つの家族なんです。これで A の流れ、応力とひずみの基礎が終わります。