平面応力変換 わかりやすく
前に、応力を面に垂直なものと面に沿うものとに分けて見ました。けれどもその面をどの方向に取るかは、実はこちらの選択です。同じ点でも面を斜めに回すと、そこに掛かる垂直応力とせん断応力はまったく変わります。奇妙に聞こえても当然です。応力は面があって初めて定義され、その面の方向を変えたからです。だから一点の応力状態は数一つではなく、角度によって変わる一組です。これを扱うのが応力変換です。角度を回すと垂直応力とせん断応力が正弦のように揺れ、そのなかでせん断が 0 になる特別な角が出ます。そこで垂直応力が最も大きく、その方向が材料が実際に割れる方向です。この講がその揺れを直接見せます。 割れる方向が、その特別な角です。
一点の応力状態を描く標準の方法が応力要素です。その点を囲むごく小さな正方形を思い浮かべ、四つの面に掛かる応力を矢印で示します。左右の面には水平方向の垂直応力があり、上下の面には縦方向の垂直応力があり、面に沿って滑らせるせん断応力があります。せん断を動かすと、せん断の矢印が四つの面に一度に現れるのが見えます。一つの面だけにせん断が掛かることはありません。平衡が壊れるからです。いつも対になって四つの面に一緒に来る共役せん断です。この小さな要素一つが、その点の応力状態をまるごと抱えています。三つの数で平面応力はすべて決まります。 三つの数が一点を決めます。
ここで核心です。同じ点を見ながら、要素だけを斜めに回します。角を動かすと正方形が回転し、新しい面に掛かる垂直応力 σ′ とせん断応力 τ′ が一緒に変わります。点はそのままで面の方向だけが変わったのに、応力が変わるのです。最初は混乱しても、考えれば当然です。同じ力の束も、どの方向の面で切るかによって、垂直成分と平行成分の割合が変わります。斜めの面ほど力が面をかすめて通り、せん断が大きくなります。だから σ′ と τ′ は角度の関数です。一点に応力値が一つあるのではなく、見る角度ごとに違う一組があるのです。すると自然に問われます。どの角度が最も危ないのか。 面の方向が成分を分けます。
その揺れを式に書くと応力変換式です。σ′ = (σx+σy)2 + (σx−σy)2·cos2θ + τxy·sin2θ、そして τ′ = −(σx−σy)2·sin2θ + τxy·cos2θ。長く見えても核心は単純です。どちらも 2θ の正弦と余弦、つまり滑らかな波です。角を動かすと σ′ 曲線と τ′ 曲線の上の二つの点が一緒に動きます。目を留めることが二つあります。第一に、角そのものではなく 2θ が入るので周期は 180 度です。要素を 180 度回せば元に戻るので当然です。第二に、σ′ の平均値 (σx+σy)2 は角がどうであれ変わりません。この和は回転しても保存される量です。この二つの曲線さえあれば、危ない角を探すことは曲線の山と零点を読むことになります。
要素を回していると、せん断応力 τ′ がちょうど 0 になる角が出ます。その面を主応力面と呼び、そこに掛かる垂直応力を主応力と呼びます。角を動かして τ′ を 0 に合わせると、その瞬間、要素のせん断の矢印が消え、残るのは純粋な押しと引きだけです。まさにこの角で垂直応力が最も大きくなります。最も大きい主応力 σ1 と最も小さい σ2 が、これらの面から出ます。材料はふつう、この最大主応力の方向に垂直に割れるからです。チョークをねじって折ると断面が斜めのらせんに割れるのは、主応力面をたどったのです。破損を予測するには σ1 とその方向、つまり主応力と主角を探すことが最初の仕事です。 割れる方向が、その角です。
今度は逆に、せん断応力が最も大きくなる角を探します。角を動かして τ′ が最大になるところをたどると、それは主応力面からちょうど 45 度回った場所です。いつもそうです。最大せん断面は主応力面と 45 度違います。その最大せん断の大きさは二つの主応力の差の半分、τmax = (σ1−σ2)2 です。鋼のような延性材料は、垂直応力よりせん断に先に降伏するからです。だから引張試験片を引っ張ると、きれいな横断面ではなく、45 度傾いた面に沿って滑りながら伸びます。その斜めの縞が、最大せん断面をたどった跡です。まとめると、主応力面ではせん断が 0 で垂直応力が極値、そこから 45 度回すとせん断が極値です。この二つの特別な角が、応力変換の結論です。