モールの応力円 わかりやすく
D1 と D2 で、変換式と主応力の公式はすでに見ました。式は正確ですが、サインとコサインに 2θ が絡んでいて、符号を一度落とすと答えがまるごと絡みます。1882年、オットー・モールは、その複雑な式が実は一つの円だということに気づきました。一点の応力状態を垂直応力とせん断応力の平面に点で打ち、要素を回しながら点をすべて打つと、点は全部一つの円の上に落ちます。その円がモールの円です。中心は応力の平均で、半径は R です。この一枚の図に、変換の答えがすべて入っています。主応力は円が横軸と交わる両端で、最大せん断は円の頂点で、要素をある角だけ回すことは、円の上で 2θ を進むことです。公式を暗記せず、円を描いて読めば足ります。一つの円が変換の地図です。
まず応力状態を点へ移します。横軸が垂直応力、縦軸がせん断応力の平面では、一つの面の応力の組が一つの点になります。要素の x面は (σx, τxy) で、そこから 90 度回った y面は (σy, −τxy) です。せん断を動かすと二つの点は上下に動きますが、二つはいつも正反対にいます。x面と y面は要素の上では 90 度の差なのに、平面の上では 180 度反対側に打たれます。すでに 2 倍が出ています。この二点を結ぶ線分が、円の直径になります。数字の束ではなく平面上の位置として見ること、これがモールの最初の飛躍です。二点が直径を決めます。 平面上の位置が、円の直径を決めますよね。
ここで要素を少しずつ回し、そのときの (σ′, τ′) を打ち続けます。角を動かすと、点は散らばりません。ちょうど一つの円に沿って進みます。どの角で切ってもその応力はこの円のどこかにあり、一点で可能な応力状態はこの一つの円にすべて収まります。円の中心は横軸の上、平均 σ = (σx+σy)2 の位置です。D1 で回転しても変わらなかったあの平均が、まさに中心です。半径は R = √(((σx−σy)/2)² + τxy²) で、D2 のあの R です。揺れていた変換式が、平均を中心に半径 R の一つの円へ集まりました。円が式の代わりをします。 平均が中心を支え、半径が大きさを決めますよね。
モールの円には約束が一つあります。実際の要素をある角だけ回すと、円の上の点はその二倍の 2θ だけ回ります。左の要素を回すと、右の円の上の点は 2θ だけ動きます。二倍になる理由は、変換式がすべて 2θ の関数だったからです。その 2θ は、円の上では本物の回転角になります。この約束さえ守れば、モールの円は分度器です。ある面の応力を知りたければ、その面が x面からどれだけ回ったかを見て、円の上でその二倍だけ回した点を読めば終わりです。符号もサインも暗記する必要はありません。回転が回転として目に見えるからです。要素の角の二倍が、円の角です。
ここで円から答えを読みます。主応力からです。円が横軸、つまり τ=0 の線と交わる場所が二つあります。円の右端と左端で、そこではせん断が 0 なので、その面が主応力面です。右端の垂直応力が最大主応力 σ1 で、左端が最小の σ2 です。中心が平均で半径が R なので、σ1 = 平均 + R、σ2 = 平均 − R です。D2 で公式として覚えていたものが、図では円の両端です。点を端に合わせると、横軸に触れた瞬間にせん断が消えます。主応力を求めるとは、円の上で左右へ最も遠く伸びた二点を打つことです。両端が二つの主応力です。
最後は最大せん断です。円の上でせん断が最も大きい場所は円の頂点で、そこまでの高さがまさに半径 R です。だから最大せん断応力は τmax = R です。D2 では τmax = (σ1−σ2)2 でしたが、σ1−σ2 が直径なのでその半分が半径で、同じことを言っています。図では円の半径を測れば足ります。頂点は、両端の主応力から円に沿って 90 度離れています。円の上の 90 度は、実際の要素ではその半分の 45 度で、D2 のあの 45 度がここでひとりでに出ます。点を頂点に載せると、その関係がそのままで見えます。一点の応力状態は一つの円で、主応力は左右の端、最大せん断は上下の端、要素の回転は円の上の 2 倍の回転です。モールの円は、応力変換を一枚の図に変えた道具です。一枚の図が式の代わりをします。