細い柱は潰れる前に曲がる

まず真っ直ぐな柱をただ押してみます。P をドラッグしてください。臨界点に達するまで、柱は真っ直ぐ立ったまま、長さがほんの少し縮むだけです。これは B1 で見た軸方向圧縮です。δ = PLAE だけ短くなるだけで、横には曲がりません。断面の応力も σ = PA で一様で、まだ降伏の近くにも達していません。短く太い柱なら、このまま応力が降伏に達するまで真っ直ぐ耐えて、それから潰れるでしょう。座屈は起きません。だから圧縮そのものは座屈ではありません。座屈とは、圧縮を受けた真っ直ぐな柱が、ある荷重を越えた瞬間に真っ直ぐであることを放棄して横へ逃げる出来事です。その閾値がどこかが次の問いです。

では荷重を臨界値の向こうへ押してみます。P をドラッグして P_cr を越えてください。越えた瞬間、何が起きますか。真っ直ぐだった柱が突然、弓のように横へ曲がります。そして P をもう少し上げるだけで、たわみ δ が急速に大きくなります。これが分岐ということです。P_cr の下では真っ直ぐな形が唯一の安定な答えですが、P_cr を越えると真っ直ぐな形は不安定になり、曲がった形が新たに現れます。まるで分かれ道のように。なぜ突然か。柱が少し曲がると、荷重 P がその横の距離だけ曲げモーメントを作り、そのモーメントが柱をもっと曲げ、もっと曲がればモーメントがもっと大きくなる。この帰還が材料の復元剛性に勝つ瞬間が、まさに P_cr です。応力が限界に達したからではなく、形の安定性が崩れたから崩れるのです。

その臨界荷重がまさにオイラーの式です。両端をピンで支えた柱なら P_cr = π²EIL²。ここで EI は曲げ剛性です。E は材料の弾性係数、I は断面二次モーメント、B3 で見たあの I です。EI が、柱が曲げにどれだけ耐えるかを語ります。しかし鍵は分母の L² です。L をドラッグしてください。長さを二倍にすると P_cr は四分の一に落ちます。長さが座屈強度を二乗で削るのです。だから同じ断面でも、長い柱はひどく弱い。もう一つ、この式には降伏や極限のような材料の強さが一切入りません。剛性と長さだけ。座屈は強度の問題ではなく剛性と形状の問題だと、この式が打ち付けるように語ります。

では、どんな柱が降伏で死に、どんな柱が座屈で死ぬのでしょう。それを分ける一つの数が細長比 λ = KLr です。ここで r は回転半径、r = √(I/A) で、断面がどれだけ効率よく広がっているかを測ります。臨界応力で書き直すと σ_cr = π²Eλ² になります。λ をドラッグしてください。λ が大きい、つまり細長いと σ_cr が非常に低く、応力が降伏に達する前に座屈で崩れます。逆に λ が小さい、短く太いと σ_cr が降伏強度より高く、座屈の前に先に降伏します。二つの曲線が出会う遷移細長比 λ₁ = π√(E/σ_y) が境界です。だから設計で柱を見たら、まず細長比を確かめます。長い柱か短い柱かで、支配する限界がまったく変わるからです。

最後に、両端をどう支えるかが強度を大きく変えます。オイラー式の K がそれを担います。端部条件を選んでください。ピン-ピンなら K=1、これが基準です。一方を完全に固定し、もう一方を自由にすると(旗竿のように)K=2 で、同じ長さでも P_cr が 1/4 に落ちます。最も弱い場合です。逆に両端をしっかり固定すると K=0.5 で、P_cr が四倍に跳ね上がります。固定-ピンはその中間で K≈0.7。K の意味は有効長さです。実際の長さ L に K を掛けた KL が、ピン-ピン柱に換算したときの長さなのです。P_cr = π²EI(KL)² で K が二乗で入るので、端の支え方だけで座屈強度を何倍も変えられます。だから柱の設計は、断面だけでなく両端の接合も合わせて見なければなりません。