曲げ応力 わかりやすく
本棚の棚が本の重みで少したわみ、飛び込み板は人を乗せると曲がります。これが曲げです。引っ張るのでもねじるのでもなく、横へ曲がることです。曲がった梁の中では興味深いことが起きます。上の繊維は短くなって押される圧縮になり、下の繊維は伸びて引っ張られる引張になります。そのあいだのどこかに、伸びも縮みもしない面があり、それを中立軸と呼びます。応力は中立軸で 0 で、離れるほど線形に大きくなります。一行に束ねたのが σ = MyI です。ねじりが半径に線形だったなら、曲げは深さに線形です。そしてこの式が、梁を平らに置かず立てて使う理由を説明します。
まず曲がった梁の中で何が起きるかを見ます。曲率を動かして梁を曲げます。梁を細い繊維の束だと考えるとよいです。梁が下へたわむと、上の繊維が内側になって周長が短くなるので押され、下の繊維は外側になって伸びます。上は圧縮、下は引張に分かれるのが見えます。一つの部材の中に、圧縮と引張が同時にあります。そしてその境界に、何も起きない線が一つあります。 境界の線が、次の話です。そこは静かです。
その何も起きない線が中立軸です。伸びも縮みもしないので変形率は 0、したがって応力も 0 です。そこから離れるとどうなるのでしょう。上へ行くほどより多く押され、下へ行くほどより多く伸び、それも距離にぴったり比例します。探針を動かして深さを変えると、中立軸から二倍遠いとき応力も二倍になります。だから応力の分布は真ん中が 0 で、上下へ行くほど開く蝶ネクタイの形になります。核心は、応力が深さ y に線形だということです。ねじりで半径に線形だったのと同じ構造で、最も外側の繊維が最も危ないという意味です。
ここでその分布を式に書きます。σ = MyI。M は曲げモーメントで、梁をどれだけ強く曲げようとするかであり、y は中立軸からの距離なので、応力が y に比例することがここに入っています。I は断面二次モーメントで、ねじりの J の場所に来る幾何の値です。M を動かすと分布全体が比例して大きくなり、最も遠い繊維 y=c で応力が最大になります。σmax = McI。引張の σ = PA と比べると違いが明らかです。引張は断面のどこも同じ応力ですが、曲げは位置 y が入るので外側ほど大きくなります。だから同じ断面でも、曲げでは端から降伏します。 端から降伏するのが曲げです。
ここで I が何かをきちんと見ます。I = ∫y²dA、各面積の断片に中立軸までの距離の二乗を掛けて全部足したものです。距離の二乗が入るので、中立軸から遠い材料がとても大きな重みを受けます。だから断面が深いほど I は爆発的に大きくなります。長方形なら I = bh³12、高さの三乗です。断面積はそのままにして高さだけを動かすと、同じ材料の量でも立てるほど I がぐんぐん上がります。これが梁を平らに置かず立てて使う理由です。I ビームが真ん中を薄く空にして上下へ肉を寄せておく理由でもあります。実際に働くのは、中立軸から遠い材料だからです。 遠い材料が、仕事をします。近いところは休みます。
実務では最大応力だけ見ればよいことが多いです。だから I と最も遠い距離 c を一つに束ねた断面係数 S = Ic を使います。すると最大応力が McI だったものが、きれいに σmax = MS になります。S 一つがその断面の曲げ強さをまるごと語るわけです。S が大きいほど、同じモーメントでも応力は低くなります。高さを動かすと、断面積が同じでも深い断面は S が大きく、最大応力が下がります。だから鋼材の一覧を見ると、部材ごとに S の値が書いてあります。設計者は受けるモーメント M を許容応力で割り、必要な S を求め、その S を超える最も軽い断面を選びます。曲げ設計は、事実上この一行で回ります。 この一行が設計です。