曲げると応力が深さに線形、σ=My/I
本棚の棚板が本の重みで少したわみ、飛び込み板は人が乗ると曲がります。これが曲げです。引くのでもねじるのでもなく、横に曲がること。曲がった梁の中で面白いことが起きます。上側の繊維は短くなって押され(圧縮)、下側の繊維は伸びて引かれます(引張)。その間のどこかに、伸びも縮みもしない面があり、それを中立軸と呼びます。応力は中立軸で 0、そこから遠いほど線形に大きくなります。これを一行に結ぶと σ = MyI です。ねじりが半径に線形だったのに対し、曲げは深さに線形です。そしてこの式が、なぜ梁を寝かせずに立てて使うのかを説明します。
まず、曲がった梁の中で何が起きるかを見ます。曲率をドラッグして曲げてみてください。梁を細い繊維の束だと思うとよいです。下にたわむと、上側は曲線の内側になって短くなり(圧縮)、下側は外側になって伸びます(引張)。ウィジェットでは、上が青(圧縮)、下が赤(引張)に分かれるのが見えますね。一つの部材の中に圧縮と引張が同時にあるんです。そしてその境目に、何も起こらない一本の線があります。
その何も起こらない線が中立軸です。伸びも縮みもしないのでひずみが 0、したがって応力も 0 です。では、そこから離れると。上に行くほど強く押され、下に行くほど強く引かれます。しかもちょうど距離に比例して。探針をドラッグして深さを変えてみてください。中立軸から二倍遠ければ応力も二倍です。だから応力分布は蝶ネクタイの形になります。中央が 0 で、上下に行くほど開いていく。肝心なのは、応力が深さ y に線形だということ。ねじりが半径に線形だったのと同じ構造です。最も外側の繊維が最も危ないという意味です。
では、その分布を式に書きます。σ = MyI。M は曲げモーメントで、梁をどれだけ強く曲げようとしているか。y は中立軸からの距離で、応力が y に比例することがここに入っています。I は断面二次モーメントで、ねじりの J の位置に来る幾何量です。M をドラッグしてみてください。分布全体が比例で大きくなり、最も遠い繊維 y=c で応力が最大になります。σmax = McI。引張の σ = PA と比べると違いは明らかです。引張は断面のどこでも同じ応力ですが、曲げは位置 y が入り、外側ほど大きくなります。だから同じ断面でも、曲げでは縁から降伏します。
ここで、I が何かをきちんと見ます。I = ∫y²dA、各面積の小片に中立軸までの距離の二乗を掛けて、すべて足したものです。距離が二乗で入るので、中立軸から遠い材料がとてつもなく大きな重みを受けます。だから断面が深いほど I が爆発的に大きくなります。長方形なら I = bh³12、高さの三乗です。ウィジェットで断面積はそのままに、高さだけドラッグしてみてください。同じ材料の量でも、立てるほど I がぐんぐん上がります。これが梁を寝かせず立てて使う理由です。そして I 形鋼が中央を薄く抜いて上下に肉を寄せる理由でもあります。実際に働くのは中立軸から遠い材料だからです。
実務では σmax だけ見ればよいことが多いです。そこで I と最も遠い距離 c を一つにまとめた断面係数 S = Ic を使います。すると σmax = McI がきれいに σmax = MS になります。S 一つが、その断面の曲げ強度を丸ごと語るわけです。S が大きいほど、同じモーメントでも応力が低い。高さをドラッグしてみてください。断面積が同じでも、深い断面は S が大きく σmax が下がります。だから鋼材カタログには部材ごとに S 値が載っています。設計者は受け持つモーメント M を許容応力で割って必要な S を求め、それを超える最も軽い断面を選びます。曲げ設計は事実上この一行で回ります。