たわみは曲率 M/EI を二度積分したもの

まずたわみそのものを見ます。一端が固定された片持ち梁の先端を押してみてください。梁が下に曲がり、滑らかな曲線を描きます。これがたわみ曲線 y(x)、各位置が元の場所からどれだけ下がったかを表します。先端を強く押すほど深くたわみます。弾性域の中ではたわみも荷重に正比例します。フックの法則がここまでついてきたわけです。片持ち梁の先端荷重なら、先端のたわみは δ = PL³(3EI) です。注目すべきは L³ です。長さが二倍ならたわみは八倍。だから長い梁ははるかに大きくたわみ、たわみ問題では長さが最も恐ろしい変数です。

たわみの正体を一枚めくります。曲がった梁の一片だけ取り出すと、それは小さな円弧のように曲がっています。どれだけ曲がっているかを曲率 κ といい、半径 R の逆数です。核心の関係がここにあります。κ = MEI。その場の曲げモーメント M が大きいほど曲がり、曲げ剛性 EI が大きいほど曲がりにくい。M をドラッグしてみてください。モーメントが大きくなると片がよりきつい弧に丸まります。EI は断面が深く材料が硬いほど大きく、同じモーメントでも EI が大きければほとんど曲がりません。強度では断面係数 S が主役でしたが、剛性では EI が主役です。そして曲率こそたわみの種です。各場所で定まるこの小さな曲がりが積み重なって、全体のたわみ曲線になります。

では小さな曲率をたわみへと積み上げます。数学では曲率はたわみ y を二度微分したものです。EI·y″ = M。だから逆に行けばよい。MEI を一度積分すれば梁の傾き y′ が出て、もう一度積分すればたわみ y が出ます。片持ち梁の先端荷重では、モーメントが位置に対して線形なので MEI も線形、一度積分した傾きは放物線、もう一度積分したたわみは三次曲線です。P をドラッグすると三つの曲線が一緒に育ちます。積分のたびに次数が一つずつ上がるのが見えます。この二度の積分がたわみ解析のエンジンです。モーメント線図さえあれば、二度の積分で梁がどんな形に曲がるかを丸ごと得られます。

積分には落とし穴が一つあります。積分のたびに未知の定数が一つずつ付きます。二度積分したので定数は二つ。これを定めないと、たわみ曲線が上下に漂ったり、丸ごと傾いたりします。この定数を釘づけにするのが境界条件、受けが与える事実です。片持ち梁なら、固定端でたわみも 0、傾きも 0。壁にがっちり咥えられているからです。その二つの条件が二つの定数をぴたりと定めます。単純支持梁なら代わりに両端でたわみが 0。ボタンで受けを変えてみてください。まったく同じ荷重でも、たわみ形が完全に変わります。曲率分布が同じでも、境界条件が違えば結果が違う。だから梁問題では、受けが何かが半分です。

最後に、実務をとても楽にしてくれる贈り物があります。すべてが線形なので、たわみも足し算ができます。梁に荷重が複数かかっていれば、各荷重が単独で作るたわみを別々に求めて、ただ足せばよい。これを重ね合わせといいます。ボタンで荷重 A だけ、B だけ、両方を切り替えてみてください。両方かけたときのたわみが、A 単独のたわみと B 単独のたわみを足したものとぴたり同じです。だから複雑な荷重も恐れる必要はありません。教科書の後ろに、片持ち梁の先端荷重、等分布荷重、中央集中荷重といった基本ケースごとのたわみ公式が表で整理されていて、実際の問題はその表を引いて足すだけで解けます。たわみ解析は結局、二度の積分と足し算で回るのです。