軸方向変形 δ=PL/AE
前に、一点の応力と変形率を別々に見ました。実務で本当に知りたいのは、この棒が全体でいくら伸びるかです。ケーブルが何 mm たわむか、柱がいくら沈むか、そういうことです。その伸びを δ とします。驚くことに、伸びはちょうど四つのことで決まります。どれだけ強く引っ張るか(P)、棒がどれだけ長いか(L)、どれだけ太いか(A)、何の材料か(E)。一行に束ねると δ = PLAE です。材料力学で最もよく使う公式の一つです。この式をひっくり返すと、棒は実は剛性 k = AEL のばねだったことが現れます。 四つが、全体の伸びを決めます。
まず引っ張りと伸びの関係から見ます。P を動かして棒を引っ張ると端がその分進み、二倍強く引っ張ると伸びも二倍になります。横の小さなグラフを見ると、引っ張りと伸びがまっすぐな直線でつながる正比例です。これは前に見たフックの法則 σ = E·ε を、棒全体へ広げたものです。応力が変形率に比例したので、力は伸びに比例します。弾性域の中では、いつもこうきれいな直線です。だから半分だけ引っ張ったときの伸びを測っておけば、二倍引っ張ったときの伸びもすぐ分かります。P と伸びが並んで歩くのが、この図の全部です。
ここで伸びが正確に何で決まるかを見ます。δ = PLAE。四つの文字を一つずつほどくと、みな筋が通ります。P が大きければより伸び、L が長ければより伸び、A が太ければあまり伸びず、E が硬ければあまり伸びません。ここでは長さ L だけを動かします。P、A、E はそのままにして棒だけを長くすると、伸びが比例して大きくなります。なぜでしょう。1m の棒が 1mm 伸びるなら、それは 1m ごとに 1mm ずつ伸びるという意味です。だから 2m なら 2mm、3m なら 3mm です。同じ変形率でも、長さが長ければ絶対的な伸びが積み上がります。A2 で見た変形率と長さの関係が、ここにそのまま入っています。
今度は分母です。δ = PLAE で A と E は下にあるので、大きいほど伸びを減らします。断面積 A を動かして太くすると、同じ力がより広い断面へ広がり、応力が下がり、伸びも減ります。材料のボタンで E も変えてみます。鋼はほとんど伸びず、アルミニウムはもう少し伸び、木はずっと多く伸びます。積 A·E を、その棒の剛性だと考えればよいのです。太く硬いほど剛性が大きく、同じ力でもあまり動きません。橋のケーブルに細い糸ではなく太い鋼線を使う理由が、まさにこの分母にあります。
実際の部材は、太さが一様ではありません。階段のように断面が変わる棒を考えます。同じ力 P がすべての区間を同じように貫きますが、区間ごとに太さが違うので伸びも違います。全体の伸びは、各区間の伸びを全部足したものです。δ = Σ PLAE、区間ごとに計算して合わせるのです。P を動かすと、最も細い区間が最も多く伸びるのが見えます。同じ力なのに、断面の狭いところへ変形が集まるからです。だから部材を設計するとき、最も弱い区間の一つが全体の挙動を左右します。鎖が最も弱い輪で切れるのと同じです。 弱い区間が、全体を左右します。
最後に δ = PLAE をひっくり返します。P = (AEL)·δ と書くと、これは正確にばねの法則 F = kδ と同じ形です。つまり軸部材は剛性 k = AEL のばねです。P を動かすとばねが伸び、δ = Pk でついてきます。k が大きければ硬いばねで伸びにくく、k が小さければ柔らかくてすっと伸びます。この見方が強いのは、複雑な構造をいくつものばねに変えて解けるからです。直列につなげば剛性は一つの仕方で合わさり、並列に置けばまた別の仕方で合わさります。棒をばねと見る瞬間、構造解析は見慣れたばねの問題に変わります。 棒をばねと見るのが、役に立つ絵です。