単振動 エネルギー わかりやすく

ばねの下の棒はこの系が持つエネルギー予算の全部で、その全体の長さは絶対に変わりません。青い部分はばねに蓄えられたエネルギー、つまり位置エネルギーで、緑の部分は動きのエネルギー、つまり運動エネルギーです。おもりが動くとき境界線が滑るのを見ると、両端では棒が全部青です。ばねが満ちていておもりは止まっています。中心では全部緑で、おもりは走りばねは空です。一方が満ちる分だけ正確に他方が空いて、和はそのまま留まります。どちらへ行っても、おもりが中心を通るたびにエネルギーは全部運動エネルギーになります。 青と緑が一つの棒の中で席を変えます。予算の線は伸びも縮みもしません。 一往復ごとに中心を二度通り、そのたびに棒は緑で満ちます。

ここでばねの側だけを引き離して見ます。x だけ伸びたり縮んだりしたばねに蓄えられるエネルギーは PE = ½kx² です。スライダーを引くと値は放物線に沿って上がり、直線ではなく器の形です。二乗のために二倍引くと蓄えは四倍になり、三倍引くと九倍になります。この器はおもりが中心から離れるとき登らねばならない丘で、ばねが硬いほど（k が大きいほど）丘はより急です。両端 x = ±A でおもりは器の頂上に座り、系のエネルギーがここへ一粒も残さず ½kA² として集まっています。 器が急なほど、同じ距離がより高くなります。硬いばねは同じ引きにより多く請求します。 遠く引くほど丘は二乗で高くなり、戻る力も大きくなります。

ここで残りの半分、動きのエネルギー KE = ½mv² です。おもりは両端で一瞬止まり、そこでは速度が 0 なので運動エネルギーを一つも持っていません。そして中心を横切るときいちばん速く、速度は v_max = Aωₙ で頂点を打ちます。運動エネルギーを位置に対して描くと逆さの器が出て、真ん中がいちばん高く両端が 0 で、ばねの器を鏡に映した形です。おもりの上の矢印が速度を表し、中心でいちばん長く両端へ行くほど 0 に縮みます。中心へ下りるときはばねのエネルギーを使って速度を買い、反対側を上るときはその速度を使ってばねをまた満たします。 矢印が長いほど運動が多く、短いほど運動がありません。中心がいちばん速度に富みます。 両端の停止と中心の疾走が、一周期の二つの顔です。

二つの半分を同じ絵に載せ、位置をスライダーで移します。青い器はばねのエネルギー PE = ½kx²、緑の逆さの器は動きのエネルギー KE = ½k(A²−x²) です。x をどこに置いても二つの高さを足すと、一番上の平らな金色の線、つまり E = ½kA² に同じように集まります。一方が上がれば他方が正確にそれだけ下がり、右の小さな棒が二つ積まれていつも同じ和を成すのを見せます。その平らな線がエネルギー保存を絵に移したものです。摩擦のない振動ではエネルギーは新しくも生まれず消えもせず、ばねとおもりのあいだを行き来するだけです。½kx² + ½mv² = ½kA² は、どの位置でも時間を出さずにその地点の速度を求める道具です。 平らな金色の線が、和の変わらない絵です。二つの器は一つの予算の補いです。 時間を出さなくても位置だけで速さを読めます。

予算全体の大きさは振幅が決めます。総エネルギーは E = ½kA² なので、どれほど遠く引くかの二乗で育ちます。おもりを軽く触っても強く引っ張っても拍子は同じです。ところがエネルギーは別の話です。A を動かすと左の波が背を伸ばすあいだ、右のエネルギー棒はもっと速く跳ね上がり、その開く隙間がまさに二乗の働く姿です。振幅を二倍にするとエネルギーは四倍を入れたことになります。より強く弾けば弦の音はより大きく、より大きく押せばブランコはより高く行きます。共振はエネルギーを入れ続けて振幅が大きくなり、蓄えられたエネルギーはその二乗で上がって、やがて何かが壊れるからです。 四倍の予算が二倍の振幅の中に入ります。大きさと高さがこの二乗の見える姿です。 拍子はそのままで予算だけが二乗で膨らむこと、それが振幅の意味です。