エネルギーは運動と位置を行き来し続ける
おもりが行ったり来たりするのを見ながら、両端の二つの点をよく見てください。その瞬間、おもりはぴたりと止まります。ところが、まさにそのときこそ、ばねが最も伸びているのです。次に中心を見てください。おもりはそこで決して止まらず、最も速く通り過ぎます。けれどもばねは完全にゆるみ、何も蓄えていません。では、両端で動きが止まるとき、エネルギーはどこへ行ったのでしょう。どこへも行っていません。形が変わっただけです。両端では伸びたばねにすべて蓄えられ、中心では駆け抜けるおもりがすべて担っています。行き来しながら、同じエネルギーがある形から別の形へ、また逆へと、何度も受け渡されます。摩擦がなければ、その和は決して変わりません。ブランコに乗る子どもは、式がなくてもこれを体で知っています。いちばん高いところで一拍止まり、いちばん低いところで最も速く通り過ぎる。この講は、そのひとつの受け渡しを間近で見つめる話です。
ばねの下の帯は、この系がもつエネルギー予算の全体です。そしてその全長は決して変わりません。この講の全体を一場面に収めた法則です。青い部分はばねに蓄えられたエネルギー（位置エネルギー）、緑の部分は運動のエネルギー（運動エネルギー）です。おもりが動くと、境目が滑るのを見てください。両端では帯がすべて青。ばねは満たされ、おもりは止まっています。中心ではすべて緑。おもりは駆け、ばねは空です。一方が満ちるのとちょうど同じだけ他方が空くので、和はそのまま。受け渡しが一往復ごとに二回起こることにも注目してください。どちら向きでも、おもりが中心を通るたびに、エネルギーはすべて運動エネルギーになります。
では、ばね側の半分だけを取り出してみます。x だけ伸びた（または縮んだ）ばねに蓄えられるエネルギーは PE = ½kx² です。スライダーを引いて、値が放物線に沿って上がるのを見てください。直線ではなく、お椀の形です。まさにその曲線が肝心です。2乗のせいで、2倍引けば蓄えるエネルギーは2倍ではなく4倍になります。3倍引けば9倍です。このお椀は、おもりが中心から離れるときに登らなければならない丘で、ばねが硬いほど（k が大きいほど）丘は急になります。両端 x = ±A で、おもりはお椀のてっぺんに座り、系のエネルギーは一粒残らず ½kA² としてここに集まっています。
次はもう半分、運動のエネルギーです。KE = ½mv²。おもりは両端で一瞬止まります。そこでは速度が0で、運動エネルギーをまったく持っていません。そして中心を横切るとき最も速く、速度は vmax = Aωₙ で頂点に達します。運動エネルギーを位置に対して描くと、逆さまのお椀になります。真ん中が最も高く、両端が0で、前の段で見たばねのお椀をちょうど鏡に映した形です。おもりの上の矢印が速度を示し、中心で最も長く、両端へ行くほど0へ縮みます。おもりがばねの丘を中心へ下るときは、蓄えたばねのエネルギーを使って速度を買い、向こう側を登るときは、その速度を使い戻してばねを再び満たします。
二つの半分を同じ絵に重ね、位置を動かしてみてください。青いお椀はばねのエネルギー PE = ½kx²、緑の逆さのお椀は運動のエネルギー KE = ½k(A²−x²) です。x をどこに置いても、二つの高さを足すと、いちばん上の平らな金色の線、すなわち E = ½kA² に同じく集まります。一方が上がれば他方がちょうど同じだけ下がり、右の小さな帯が、二つが積み重なってつねに同じ和になることを示します。その平らな線こそ、エネルギー保存を絵にしたものです。摩擦のない理想的な振動では、エネルギーは新たに生まれも消えもせず、ばねとおもりの間を行き来するだけ。そしてこの一文 ½kx² + ½mv² = ½kA² は、これからずっと使う道具です。どの位置でもこの式を立てれば、時間を一度も持ち出さずに、その点の速度を求められます。
では、予算全体の大きさは何が決めるのでしょう。振幅です。総エネルギーは E = ½kA² なので、どれだけ遠く引くかの2乗で増えます。前の講で、振幅は振動数を変えないと言ったのを思い出してください。おもりを軽く突こうと強く引こうと、拍子は同じです。けれどもエネルギーはまったく別の話。A を動かすと、左の波が A に合わせて高くなる一方で、右のエネルギー帯ははるかに速く跳ね上がります。目盛りの間隔が広がり、その広がる隙間こそ2乗が働く姿です。振幅を2倍にすれば、エネルギーは4倍入れたことになります。だからこそ、強く弾けば弦の音は大きく、大きく押せばブランコは高く上がり、共振はあれほど危険なのです。共振はエネルギーを静かに送り込み続け、振幅がじわじわ大きくなり、蓄えられるエネルギーはその2乗で増えていって、ついには何かが壊れます。