固有振動数 わかりやすく
ばねの先に吊るしたおもりを横へ少し引いて放します。手を離した瞬間、誰に言われなくてもおもりは自分の拍子で行ったり来たり振動し始めます。その拍子はいつも同じです。強く引いても少し引いても一往復にかかる時間は変わらず、これがその系の固有振動数です。振動するものには何であれそれだけの生まれ持った拍子があります。ブランコも、橋も、建物も、音叉もそうです。その拍子を決めるのはちょうど二つです。ばねがどれほど硬いか、つまり剛性、そしておもりがどれほど重いか、つまり質量です。硬いほど速くなり、重いほど遅くなります。この一場面から振動のすべての話が始まります。 拍子は手の強さではなく系の性質が決めます。引いた距離は高さだけを変え、時間はそのままにします。
おもりをドラッグして横へ引いて放すと、手を離した瞬間におもりが自分で振動を始めます。下のグラフはその変位が時間とともにどう変わるかを見せ、滑らかな波の形です。これが単振動です。大きく引いて放し、少しだけ引いて放すと、波の高さは変わりますが波が一回うねる間隔はそのままです。どれほど強く揺らすかは拍子を変えられません。拍子は系そのものが決めるので、これを生まれ持った振動数と呼びます。 波の高さと波の間隔は別の話です。一つは手で、もう一つは系です。
ここで質量はそのままにばねだけを変えます。k はばねの剛性、どれほど硬いかです。k を大きくすると振動が目に見えて速くなります。硬いばねはおもりを平衡の位置へより強く引き戻すので、同じ重さでもより強く戻してより速く往復します。硬いスポーツカーのばねは弾むように速く跳ね、柔らかいばねはゆらゆら遅く動きます。復元力が強いほど拍子が速くなること、これが一つ目の規則です。 戻す力が強いほど往復は短くなります。柔らかい側は時間を伸ばし、硬い側は時間を縮めます。
今度は逆にばねはそのままに質量だけを大きくします。ブロックが大きいほど重いおもりで、m を大きくすると振動がだんだん遅くなります。重いものは慣性が大きく、いったん動くと止まりたがりませんし、止まっていれば出たがりません。だから同じばねが引いても重いおもりは鈍く反応し、一往復に時間がよりかかります。大きな鐘が小さな鐘より重く遅く鳴るのと同じです。質量が大きいほど拍子が遅くなること、これが二つ目の規則で、剛性とは逆の向きに働きます。 慣性の大きいおもりは同じ力にも遅く答えます。出発と停止がどちらも重くなります。
二つの規則を一つの式に束ねると固有角振動数は ωₙ = √(km) です。剛性 k は分子に、質量 m は分母に入ります。だから k が大きくなると振動数が大きくなり、m が大きくなると振動数が小さくなり、さっき見たそのままです。平方根が掛かっている点が大事です。k と m の比 km を変えると曲線は平方根の形で、最初は急ですが行くほど緩やかになります。剛性を四倍にしても振動数は二倍にしか速くならないので、拍子を二倍速くするにはばねを四倍硬くしなければなりません。振動数が分かれば周期 T = 2πωₙ と振動数 f = ωₙ2π もすぐついてきます。 平方根は拍子を剛性より遅く育てます。だからばねを少し変えても拍子はそれより少なく動きます。
同じ原理はばねの外でも同じように通じます。振り子は少し特別です。振り子の固有振動数は ωₙ = √(gL) で、ひもの長さ L だけが入り、おもりの重さはまったく入りません。だから重いおもりでも軽いおもりでも、ひもの長さが同じなら同じ拍子で揺れます。ガリレオが聖堂のシャンデリアを見て気づいたのがまさにこれです。高層ビルは巨大な振り子のようで、高いほどより柔らかく重くゆっくり揺れ、超高層の頂上が風にゆっくり揺れる理由がここにあります。音叉は正反対です。短く硬く軽い叉なので 1 秒に何百回もとても速く震えて、耳に一定の音として聞こえます。ボタンで三つを替えると、剛性と質量の釣り合いが拍子を決めるという同じ話が見えます。 ひもの長さだけが拍子を決め、おもりの重さは抜けます。建物と音叉はその釣り合いの両端です。