固有モード 多自由度 わかりやすく
ここまでは質量が一つ、固有振動数が一つでした。実際の機械は、いくつかの部品が互いにつながっています。二つの質量をばねでつなぐと、新しいことが起きます。一つを引いて離すと、きれいな一つの拍子ではなく、運動が雑然と見え、エネルギーが一方の質量から他方へ流れて戻ってきます。つかみどころがないように見えますが、隠れた秩序があります。この系には、きれいに振動する仕方がちょうど二つあり、それをモードと呼びます。一つは二つの質量が一緒に動く仕方、もう一つは互いに逆に動く仕方です。各モードはそれぞれ一つの振動数を持ち、どんなに雑然とした運動も、この二つのモードを混ぜたものにすぎません。質量が二つならモードは二つ、橋や建物ならモードはとても多くなります。技術者が複雑な構造物を手なずける方法は、モードを見つけることです。 モードを知らなければ、その雑然さは説明できません。
同じ質量を二つ、ばねでつなぎます。ここでは同じばねを三つでつなぐ古典的な配置を使います。m₁ だけ引いて離すと、m₁ が揺れたあとすぐに m₂ がその動きを引き受け、m₁ は静かになり、また m₁ へ戻ってきます。エネルギーが前後に行き来するこの模様をうなりと呼びます。前の講の質量一つはきれいな一つの拍子でしたが、こうしてつながった運動は複雑に見え、単純には繰り返されません。中央のばねが、二つの間でエネルギーを運ぶ使者です。見かけの混乱は単純な構造を隠していて、次の二つの段階がその構造を明らかにします。 使者が二つの間でエネルギーを分けます。
ここに隠れた秩序があります。二つの質量を同じ大きさ、同じ向きに置いて離します。もううなりはまったくありません。二つは歩調を合わせて一緒に動き、たった一つのきれいな振動数で振動します。これが第一の正規モード、同相モードです。二つの質量が一緒に動くので、間のばねは伸びも縮みもせず、いっしょに運ばれるだけです。外側のばねだけが働くので、振動数はより低いほう、ω₁ = √(km) です。ばね一つに質量一つを吊るしたときと同じです。中央が休んでいることが、このモードの目印です。 中央が休んでいることが目印です。
今度は逆に、同じ大きさでも反対向きに置いて離します。やはりうなりはなく、一つのきれいな振動数です。二つの質量は鏡のように、いつも反対向きに動きます。これが第二の正規モード、逆相モードです。中央のばねは毎振動いちばん強く押され伸びて、自分の剛性を復元力に足します。剛性が増すと振動数も高くなります。ω₂ = √(3km) で、1番モードより速いです。質量が二つの系にはモードがちょうど二つあり、これが規則です。質量が N 個ならモードも N 個で、それぞれ自分の振動数を持ちます。 中央が働くほど振動数は上がります。それが逆相の速さの理由です。
ここで決定的な一点です。二つの質量のどんな運動も、最初の段階の雑然としたうなりまで含めて、この二つのモードの和にすぎません。1番モードをいくらか、2番モードをいくらか足したものです。一番上の行は1番モードだけ、中央の行は2番モードだけ、一番下の行は二つの和、つまり実際の運動です。混ぜる比を動かすと、純粋に1番か2番だけのときは下の行がきれいに動き、そのあいだでは二つの振動数が重なって block 1 のうなりがよみがえります。複雑な運動は一度も複雑だったことがなく、いつも単純な二つのモードを足したものでした。どんな運動もモードに分ければ、各モードは自分の固有振動数を持つ単純な振動子になります。 和に戻せば、うなりも説明できます。分けて見れば単純です。
この理解は説明にとどまらず、設計の道具になります。高い建物に危険な共振があれば、技術者はわざと二つ目の質量を足します。頂上に自分のばねで吊るした同調質量ダンパー（TMD）です。そのモードを建物の共振振動数に合わせておきます。いまモードは一つではなく二つになり、昔の共振振動数では足した質量が逆相で強く揺れ、エネルギーを吸い取るので、建物はほとんど静かにしています。切り替えると、TMD がないときは建物が激しく揺れ、あるときは小さな質量が代わりに動き、建物はほとんど動きません。台北 101 は頂上の近くに 660 トンの鋼の球を吊るして、まさにこの仕事をしています。橋も煙突も自動車のエンジンも同じ手を使います。自由度を一つ足して、厄介な振動を打ち消すのです。 小さな質量が、大きな構造の揺れを代わりに受けます。