二つのおもり、二つの拍子 — モード

二つの等しい質量をばねでつなぎます（ここでは同じばね三本でつなぐ古典的な配置です）。m₁ だけを引いて離してみてください。m₁ が揺れますが、まもなく m₂ がその動きを引き継ぎ、m₁ は静かになり、やがてまた m₁ へ返します。エネルギーが前後に揺れ動きます。このパターンをうなりと呼びます。前の講の単一質量はきれいな一つの拍子でしたが、この結合運動は複雑に見え、単純には繰り返しません。中央の結合ばねが、二つの間でエネルギーを運ぶ使者です。けれどもこの見かけの混乱は、単純な構造を隠しています。次の二段がそれを明らかにします。

ここに隠れた秩序があります。二つの質量をちょうどよく — 同じ大きさ、同じ向きに — 置いて離してみてください。もう揺れ動きはまったくありません。二つは完璧に歩調を合わせて一緒に動き、ただ一つのきれいな振動数で振動します。これが第一の基準モード、同相（対称）モードです。二つの質量が一緒に動くので、間の結合ばねは伸びも縮みもしません。ただ一緒に運ばれるだけです。外側のばねだけが働くので、振動数は低いほう、ω₁ = √(km) です。ばね一本につるした質量一つのときとまったく同じです。

今度は逆に — 同じ大きさで反対向きに — 置いて離してみてください。やはり揺れ動きなく、ただ一つのきれいな振動数です。けれども今度は二つの質量が互いに鏡のように、つねに反対向きに動きます。これが第二の基準モード、逆相（反対称）モードです。今度は中央の結合ばねが、振動のたびに最も強く縮み、伸び、その剛性を復元力に加えます。剛性が増せば振動数も高くなります。ω₂ = √(3km) で、1次モードより速いです。二質量の系にはちょうどモードが二つあり、これが規則です。質量 N 個ならモードも N 個、それぞれ自分の振動数をもちます。

さて決め手です。二つの質量のどんな運動も — 最初の段の雑然としたうなりも含めて — この二つのモードの和にすぎません。1次モードをいくら、2次モードをいくら足したか、です。一番上の行は1次モードだけ、中央の行は2次モードだけ、一番下の行はその和、すなわち実際の運動です。混ぜる比を動かしてみてください。純粋に1次か2次だけのときは下の行がきれいに動きますが、その間では二つの振動数が重なり、block 1 のうなりがそのまま戻ってきます。複雑な運動は、実は一度も複雑ではありませんでした。いつも単純な二つのモードの和だったのです。これがすべての振動解析の中心的な考えです。どんな運動もモードに分ければ、各モードは自分の ωₙ をもつ単純な振動子になります。

この理解は説明にとどまらず、設計の道具になります。高いビルに危険な共振があれば、技術者はわざと二つ目の質量を足します — 頂部に、自分のばねでつるした同調質量ダンパー（TMD）です。そのモードがビルの共振振動数にちょうど合うように調整しておきます。いまや系はモードが一つではなく二つになり、かつての共振振動数では、足された質量が逆相で激しく揺れてエネルギーを吸い取り、ビルはほとんど静かなままです。切り替えてみてください。TMD がないとビルは激しく揺れますが、あると小さな質量が代わりに踊り、ビルはほとんど動きません。台北101 は頂部近くに660トンの鋼球をつるして、まさにこれを行います。橋、煙突、さらには自動車のエンジンも同じ手を使います。自由度を一つわざと足して、厄介な振動を打ち消すのです。