共振 — 小さな力が大きな揺れになるとき
前の講の自由振動は、一度離せば収まりました。今度は押し続けてみます。ブランコを思い浮かべてください。でたらめな時に押してもあまり上がりません。けれどもブランコの生まれもった拍子にぴたりと合わせて押すと、どんどん高く上がります。秘密はすべてそこにあります。周期的な力で系を揺らすと、系は結局あなたが与える拍子で振動します。その拍子がちょうど系の固有振動数 ωₙ と一致すると、押す力が毎回、動いている方向へエネルギーを足し、振幅が桁違いに大きくなります。何がそれを止めるのか。減衰だけです。小さな力でも拍子さえ合えば、橋を崩し、声だけでグラスを割ることができます。その拍子が合う現象が共振です。振動で最も重要で、最も危険な概念です。
系を周期的な力 F = F₀cos(ωt) で押してみます。はじめは前の講の自由振動を含む過渡応答が少し現れますが、それが収まると系は定常状態で揺れます。肝心なのはここです。系は固有振動数 ωₙ ではなく、あなたが与える駆動振動数 ω で揺れます。与えた拍子に合わせて踊るのです。その振幅は、静的たわみ F₀k に倍率 M を掛けたもの。この M は振動数比 r = ωωₙ で決まります。ω を動かしてみてください。ωₙ から遠いと質量はほとんど動きませんが、ω が ωₙ に近づくと振幅がふくらみます。系は生まれもった拍子で押されたとき、最もよく動きます。
その倍率 M を振動数比 r に対して描くと、共振曲線になります。M = 1√((1−r²)²+(2ζr)²) です。三つの区域に分かれます。r が小さいとき（ゆっくり押すとき）は M ≈ 1。質量は力をほぼそのまま追い、F₀k だけたわむだけです、まるで静的な力のように。r が1付近のときは分母がほぼ0になり、M が鋭い山へ跳ね上がります — これが共振です。r が大きいとき（速く押すとき）は M → 0。質量が鈍すぎて追いつけず、ほとんど反応しません。r ≈ 1 の山が核心です。固有振動数に合わせて押すと、応答は何倍にも増幅されます。
山が無限に伸びるのを止めるものは何でしょう。減衰です。共振（r = 1）では (1−r²) 項が0になるので、振幅を抑えるのは 2ζr 項、すなわち減衰だけです。ζ を動かしてみてください。減衰が軽いと山は高く鋭く危険になり、減衰が大きいと低く鈍くなります。山の高さはおよそ 1(2ζ) で、これを品質係数 Q と呼びます。ほとんど減衰のない鐘やワイングラス（高い Q）は鋭く純粋な共振で鳴り、よく減衰された機械マウント（低い Q）はほとんど反応しません。技術者が減衰を加える理由がまさにこれです。固有振動数を変えるためではなく、共振の山を飼いならすためです。
物語にはもう半分があります。位相です。応答はつねに駆動力より角度 φ だけ遅れます。共振より下（r < 1）では遅れが小さく、質量と力はほぼ一緒に動きます。ちょうど共振（r = 1）では遅れが正確に90°、すなわち14周期です。このとき力はつねに、質量がすでに動いている方向へ押します。だからこそエネルギーがあれほど効率よく入り、振幅が育つのです。共振より上（r > 1）では遅れが180°に近づきます。質量は力と逆に動いて抗うので、ほとんど伝わりません。駆動の点と応答の点を見てください。一緒に動く状態から、14周期ずれた状態へ、そして正反対に動く状態へと移っていきます。
共振は、良くも悪くも、どこにでもあります。タコマ橋（1940）は、風が橋の固有振動数にエネルギーを送り込むと、自ら捻れて崩れました — 破壊的共振という教科書的な警告です。声楽家はグラスの固有振動数と合う音を伸ばして、グラスを割ることができます。兵士が橋を渡るとき足並みを崩すのは、行進の拍子が橋の固有振動数に掛からないようにするためです。けれども共振は有用でもあります。ラジオの同調とは、回路の固有振動数を一つの放送局に共振するまで合わせ、残りを無視することです — 何千もの信号から一つを選び出すフィルターとしての共振です。同じ物理、正反対の意図です。