強制振動 共振 わかりやすく
前の講の自由振動は、一度離すと収まりました。この講では、その系を押し続けます。ブランコを思い浮かべると、絵がはっきりします。適当なタイミングで押しても高くは上がりませんが、ブランコが生まれつき持つ拍子に合わせて押すと、回を重ねるほど高く上がります。秘密はその拍子にあります。周期的な力で系を揺すると、系はついには押す側の拍子で振動します。その拍子が系の固有振動数 ωₙ と等しいと、押す力は毎回、動きと同じ向きにエネルギーを足します。振幅はそのとき大きく育ちます。それを止めているのは減衰だけです。小さな力でも拍子が合えば橋を揺らし、声だけでグラスを割ることができます。拍子がぴったり重なるこの現象が共振で、振動のなかで最も重要であり、最も危険です。
系を周期的な力 F = F₀cos(ωt) で押します。最初は前の講の自由振動が混ざった過渡応答が少し見えますが、それが収まると系は定常状態で揺れます。肝心なのは、系が自分の固有振動数 ωₙ ではなく、押す側が決めた駆動振動数 ω で揺れるという点です。その振幅は静的な変形 F₀k に倍率 M を掛けた値で、この M は振動数比 r = ωωₙ によります。ω が ωₙ から遠いと質量はほとんど動きません。ω が ωₙ に近づくと振幅は膨らみます。系は、生まれつきの拍子で押されるとき最もよく動きます。拍子が外れると、同じ力でも質量はほとんど動きません。その差は大きいです。
その倍率 M を振動数比 r に対して描くと、共振曲線が現れます。M = 1√((1−r²)²+(2ζr)²) で、曲線は三つの領域に分かれます。r が小さいとき、つまりゆっくり押すときは M ≈ 1 です。質量は力をほぼそのまま追い、F₀k だけ変形して、まるで静的な力のように動きます。r が 1 の近くでは分母がほとんど 0 になり、M は鋭い山へ跳ね上がります。これが共振です。r が大きいとき、つまり速く押すときは M → 0 なので、質量は鈍すぎて追いつけず、ほとんど反応しません。r ≈ 1 の山がこの曲線の中心です。固有振動数に合わせて押すと、応答は何倍にも大きくなります。
山がどこまでも高くなるのを止めているのは減衰です。共振（r = 1）では (1−r²) の項が 0 になるので、振幅を押さえているのは 2ζr の項、つまり減衰だけです。ζ を変えると、減衰が軽いときは山が高く鋭くなって危険になり、減衰が大きいと低く鈍くなります。山の高さはおよそ 1(2ζ) で、これを品質係数 Q と呼びます。減衰がほとんどない鐘やワイングラス（高い Q）は鋭く純粋な共振で鳴り、よく減衰された機械のマウント（低い Q）はほとんど反応しません。技術者が減衰を足すのは、固有振動数を移すためではなく、共振の山を手なずけるためです。山を低くすることが、減衰の役目です。
話には残りの半分があり、それは位相です。応答はいつも駆動力より角度 φ だけ遅れます。共振より下（r < 1）では遅れが小さく、質量と力はほぼ一緒に動きます。ちょうど共振（r = 1）では遅れが正確に 90°、つまり 14 周期です。このとき力は、質量がすでに進んでいる向きへ押すので、エネルギーが効率よく入り、振幅が育ちます。共振より上（r > 1）では遅れが 180° に近づき、質量は力と逆向きに動いて逆らいます。だから伝わるものはほとんどありません。駆動の点と応答の点を見ると、一緒に動き、それから 14 周期ずれ、それから正反対に動くほうへ移っていきます。位相が、エネルギーを入れる向きを決めます。
共振は、良い意味でも悪い意味でもどこにでもあります。タコマ橋（1940）は、風が橋の固有振動数にエネルギーを載せると自らねじれて崩れ、破壊的な共振を警告する教科書になりました。声楽家は、ワイングラスの固有振動数に合う音を長く出してグラスを割ることができます。兵士が橋を渡るとき足並みを乱すのは、行進の拍子が橋の固有振動数に掛からないようにするためです。共振には使い道もあります。ラジオの同調は、回路の固有振動数を一つの放送局に共振するまで合わせ、残りの信号を無視する仕事です。数多くの信号から一つを選び出すフィルタとしての共振です。同じ物理で、意図は正反対です。