定在波 連続体振動 わかりやすく
前の講では、質量が N 個ならモードも N 個でした。そのおもりを限りなく増やして一本の連続した弦にすると、モードも限りなく多くなります。各モードは両端を固定したまま振動する滑らかな定在波で、その振動数は基音の整数倍です。弦が音楽になる理由がここにあります。おもりの数が増えて曲線になる瞬間、振動は波動の言葉を使い始めます。
N を増やします。おもりが数個だけなら前の講のぎざぎざしたモードの形ですが、数が増えるほど滑らかな一つの曲線、つまり連続した弦に集まっていきます。連続体は、おもりが限りなく多い多自由度系です。点と点のあいだが消えると、形は曲線として読まれます。
最も単純なモードが基本モードです。弦全体が両端の節を固定したまま、一つの山となって一緒に上下します。半波長が弦の長さと等しいので λ₁ = 2L で、振動数は最も低い f₁ です。中央がいちばん大きく動き、端は動きません。
より高いモードを選びます。n 番目のモードは山が n 個で、そのあいだの節は n−1 個です。振動数は fₙ = n·f₁ で、基音の整数倍です。この整数倍の梯子が倍音で、弦の音が音楽に聞こえる理由です。節が増えるほど音は高くなります。
A5 の重ね合わせが、限りなく多くのモードへ広がります。弦を一点で弾くと、その三角形は定在波モードの和です。足す倍音を増やすと角が鋭くなり、弾いた形へ集まっていきます。どの配合であるかが、すなわち音色です。倍音が少ないほど角は丸く、多いほど弾いた位置がはっきりします。
何が音を決めるのでしょう。f₁ = (12L)√(Tμ) で、張力 T、長さ L、線密度 μ が決めます。三つを動かしてみます。より強く張り（T↑）、より短く（L↓、フレットを押さえること）、より細く（μ↓）すると音は上がります。低音の弦が太いのも、橋のケーブルや送電線が震えるのも同じ式です。強く、短く、軽いほど音は高くなります。