ハーゲンポアズイユ 管内流れ
管の中を流れる水の速度はどこでも同じではありません。管を横に切って速度を測るとどんな形か、断面を横切って探針をドラッグして見ます。壁は捕まえ、真ん中は走ります。
壁に触れた水は滑りなしで 0 で、中心へ行くほど速くなり、速度を矢印で描くと中心がいちばん膨らんだ放物線になります。押す力をドラッグすると放物線がまるごと大きくなり、壁の粘性摩擦が縁を捕まえて真ん中だけが存分に速くなるからです。縁は捕まり、ど真ん中だけが道を開きます。
層流と乱流は分布の形から違います。ボタンで替えると層流は滑らかな放物線ですが、乱流はひどく混ざりながら真ん中が鈍く平らになり、壁の近くだけ急に落ちます。乱流の活発な混ざりが速度を均一に伸ばしてしまうからです。混ざりが峰を削って平らにします。
層流の放物線にはきれいな事実が一つあります。中心の最大速度が断面の平均速度のちょうど二倍で、押す力をドラッグしてもこの 2 対 1 の比は変わりません。だから流量を平均速度で計算するときは、真ん中で測った最大値を半分に割って使えばよいです。峰が平均の二倍だという比が固定です。
式では u(r) = umax (1 − (rR)²) です。中心 (r=0) で最大、壁 (r=R) で 0 の放物線で、半径の位置 r をドラッグすると速度が式のままついてきます。縁へ行くほど二乗で速く落ちます。中心は峰で、壁は床です。
血管の中の血もこう流れます。血管の壁に付いた層はほとんど止まっていて、真ん中を流れる赤血球がいちばん速く、流量をドラッグすると中心の細胞の速度がいちばん大きく育ちます。血管が狭くなると中心の流速が大きく跳ね上がり、壁の近くの遅い層は栄養の交換と凝固に関わります。この粘性摩擦が管に沿って圧力をどれほど削るかは、水頭損失が受け継ぎます。