仕事は運動エネルギーの変化に等しい

一定の力 F で箱を距離 d だけ押してみてください。した仕事は W = F·d、力かける距離です。下のグラフで横は移動距離、縦は力で、仕事はその下の塗られた長方形の面積です。d をドラッグすると面積が距離に比例して増えます。単位は N·m、これをジュール(J)と呼びます。一つ注意は、仕事は力のうち動く方向の成分だけを数えるということ。力が運動方向と直角なら(例: 円運動の求心力)仕事は 0 です。物を持って立ち止まっているときも、上に支える力は仕事をしません。動いた距離がないからです。仕事は、力が距離に沿って実際に押した量です。

した仕事はどこへ行くのでしょう。摩擦のない床なら、正味の力がした仕事はそっくり運動エネルギーに入ります。最初にある程度の運動エネルギーを持つ箱に仕事 W を加えると、運動エネルギーがちょうどその分だけ増えます。スライダーでした仕事 W を大きくしてください。運動エネルギーの棒が W だけ伸び、それに応じて速度も上がります。式では W = ΔKE = KE_後 − KE_前。これが仕事エネルギー定理です。よいのは、途中で力がどう変わったか、時間がどれだけかかったかを知らなくてよいこと。始めと終わりの運動エネルギーだけ見れば、その間に正味の力がした仕事がすぐ分かります。負の仕事(ブレーキのように運動と逆向き)をすると運動エネルギーが減って遅くなります。

運動エネルギーが正確に何かを見ましょう。質量 m の物体が速度 v で動くときの運動エネルギーは KE = ½mv² です。v スライダーをドラッグすると運動エネルギーが速度の二乗で大きくなります。速度を二倍にすると運動エネルギーは四倍。これは前に見た v² = v₀² + 2a·Δx と対になります。その両辺に ½m を掛けると、まさに仕事エネルギー定理が出てくるのです。速度が二乗で入ることが実生活で恐ろしく効きます。車の速度が二倍なら運動エネルギーは四倍、止めるのに必要な仕事も四倍、制動距離も四倍。衝突の被害が速度に敏感な理由がここにあります。

力はいつも一定とは限りません。それでも仕事はいつも同じ方法で求めます。F-x グラフの下の面積です。ボタンで力の形を変えてください。一定の力なら面積は長方形なので W = F·d。ばねを引く力のように距離に比例して大きくなる力(F = kx)なら面積は三角形なので W = ½kx²。だんだん減る力ならまた別の形です。形がどうであれ、仕事は曲線の下の面積をかき集めたもの、すなわち力を距離について積分した値です。これは前の講で速度を時間について積分して距離を得たのとまったく同じ積分です。時間の代わりに距離について積み上げるだけ。掛け算が効かない変わる力も、面積で見れば必ず解けます。

最後は仕事率です。同じ仕事でも早く終えればより強力です。仕事率は単位時間あたりの仕事、P = Wt です。そして一定の力で速度 v で動いているなら、仕事率はすっきり P = F·v と書けます。v スライダーをドラッグすると、同じ力でも速いほど仕事率が大きくなります。単位はワット(W)、1ワットは1秒に1ジュールをすることです。エレベーターが同じ重さを同じ高さに上げても、速く上げるモーターはより大きな仕事率が要り、車が同じ力をより速く出すにはより強いエンジンが要ります。仕事がエネルギーの総量なら、仕事率はそれを注ぎ出す速さです。次の講では、このエネルギーを位置エネルギーまで広げ、保存力だけなら運動エネルギーと位置エネルギーの和が一定に保たれるエネルギー保存へ進みます。