動力学
トルクが角加速度を生む、ΣM = Iα
トルク M=F·d、慣性モーメント I=Σmr²、回転ニュートン ΣM=Iα、形状別 βMR²(輪1・円板½・球⅖)、平行軸 I=Icm+Md²
直線運動で力が加速度を生んだように、回転ではトルクが角加速度を生みます。その比例定数が慣性モーメント I — 質量が軸からどれだけ広がっているかを測る、回転版の「質量」です。
回転を起こすのは力だけでなく「どこに」かけるか。トルク M = F × d — 軸から遠いてこの腕 d が長いほど同じ力で大きく回せます。r をドラッグして確かめて。
回転の「質量」は慣性モーメント I = Σ m r²。同じ質量でも軸から遠いほど I は r の2乗で大きくなる — だからスケート選手は腕を縮めると速く回ります。r をドラッグして。
二つを合わせると回転のニュートン第2法則 — ΣM = Iα。正味のトルクが角加速度を生み、その比例定数が I。直線の ΣF = ma と文字を替えただけの同じ形です。M をドラッグすると α = MI が従います。
同じ質量・半径でも形によって I = βMR² の β が変わります — 輪(1)、円板(½)、球(⅖)。斜面を転がすと β の小さい球が最も速く下ります(加速 ∝ 1(1+β))。形を選んで比べて。
同じ物体でも回転軸を移すと I が変わります。平行軸定理 I = Icm + M d² — 質量中心の軸から距離 d だけ離れると M d² が加わります。d をドラッグすると I は d² で増えます。
実際に使うまとめると、回転運動力学の中心は一行 ΣM = Iα。トルク M = F × d は力にてこの腕を掛けたもの、慣性モーメント I = Σ m r² は質量が軸からどれだけ広がるかを測る回転の質量です。だから同じトルクでも I が大きいと α は小さい。I は形によって βMR²(輪1・円板½・球⅖)と変わり、軸を質量中心から移すと平行軸定理 I = Icm + M d² で増えます。剛体が転がるときは ΣF = macm と ΣM = Icm α を一緒に立て、転がり条件 a = rα で結んで解きます。直線の (F, m, a) が回転で (M, I, α) に一語ずつ移っただけ。次の D2 講ではこの回転をエネルギーで見ます — 回転運動エネルギー ½Iω²、転がりでの並進 ½mv² と回転 ½Iω² の和、そして仕事‐エネルギー定理でトルクのした仕事を一目で整理します。
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