動力学
回転運動は角位置・角速度・角加速度で記述する
角位置 θ, ω=dθ/dt, α=dω/dt、等角加速 ω=ω₀+αt·θ=ω₀t+½αt²、線↔角 v=rω·at=rα·an=rω²
剛体が軸まわりに回るとき、すべての点が同じ角 θ を共有します。直線運動の x・v・a がそのまま角位置 θ・角速度 ω・角加速度 α に移り、半径 r を掛ければ線速度とつながります(v=rω)。
剛体を θ だけ回してみて。軸から離れたすべての点が同じ角を掃き、半径 r の点が通る弧の長さは s = rθ(θ はラジアン)。
角速度 ω は角の変わる速さ、ω = dθ/dt。θ-t グラフでは ω が傾き — ω を上げると直線が急になり、同じ時間で多く回る。
角加速度 α は角速度の変わる速さ、α = dω/dt。ω-t グラフでは α が傾き — α>0 でどんどん速くなり、α<0 で遅くなって向きを変える。
同じ ω でも外側の点ほど速い。半径 r の点の接線速度は v = rω — ω をドラッグすると r=2 の点は r=1 の点の常に2倍速い。
α が一定なら、直線運動の等加速度公式がそのまま回転版になる。α をドラッグすると ω-t 直線の下の面積が掃いた角 Δθ — ω=ω₀+αt, Δθ=ω₀t+½αt², ω²=ω₀²+2αΔθ.
実際に使うまとめると、回転運動は直線運動の完全な並行世界です。位置 x → 角位置 θ、速度 v=dx/dt → 角速度 ω=dθ/dt、加速度 a=dv/dt → 角加速度 α=dω/dt と一語ずつ置き換えるだけで、等加速度公式も v=v₀+at → ω=ω₀+αt, x=x₀+v₀t+½at² → θ=θ₀+ω₀t+½αt², v²=v₀²+2aΔx → ω²=ω₀²+2αΔθ とそのまま移ります。二つの世界をつなぐ橋は半径 r — 弧 s=rθ、接線速度 v=rω、接線加速度 at=rα、向きを変える求心加速度 an=rω²=v²r。だからターンテーブルの縁は中心より速く、同じ角だけ回っても外側ほど大きな線速度を持ちます。次の講では回りながら同時に進む(並進+回転)一般平面運動に移り、転がり条件 v=rω と瞬間回転中心で車輪の運動を解きます。
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